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课件网) 第8章 四边形 第5课时 正方形 8.2 特殊的平行四边形 正方形的概念与判定 1.(2025广东东莞三模)小琦在复习几种特殊四边形的关系时 整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件,则下列条件添加错误 的是 ( ) D A.(1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=AB C.(3)处可填DC=CB D.(4)处可填∠B=∠D 解析 有一个角是直角的平行四边形是矩形,∴(1)处可填∠A =90°;有一组邻边相等的矩形是正方形,∴(2)处可填AD=AB; 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,∴(3)处可填DC=CB;有 一个角是直角的菱形是正方形,但由∠B=∠D无法判断两个 角是不是直角,∴(4)处不可以填∠B=∠D.故选D. 2.(2025四川乐山中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形,现有三个条件可供选择:①AC⊥BD;②AC=BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是_____(只需填一种组合即可). ①②或①③(填一种组合即可) 解析 若选①②,理由:∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥ BD,∴四边形ABCD是菱形,∵AC=BD,∴菱形ABCD是正方形. 若选①③,理由:∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴四 边形ABCD是菱形,∵∠ADC=90°,∴菱形ABCD是正方形.故答 案为①②或①③.(填一种组合即可) 3.(2025广东珠海期末)如图,已知菱形ABCD的对角线交于 点O,E,F是对角线BD所在直线上的两点,连接AE,CE,AF,CF, 得到四边形AECF,若∠AED=45°,DF=BE,求证:四边形AECF 是正方形. 证明 ∵四边形ABCD是菱形, ∴BO=DO,AO=CO,AC⊥BD, ∵BE=DF,∴BE+BO=DF+DO, ∴FO=EO,∴EF与AC互相垂直平分, ∴四边形AECF是菱形,∴∠AEF=∠CEF, 又∵∠AED=45°,∴∠AEC=90°, ∴菱形AECF是正方形. 正方形的性质 4.(2025江苏南通启东期中)如图,在边长为3的正方形ABCD中, 点E在边BC上,以点D为圆心,DC长为半径画弧,交线段DE于 点F.若EF=EB,则CE的长为 ( ) A.2 B. C. D. D 解析 ∵正方形ABCD的边长为3, ∴CD=CB=3,∠BCD=90°, 由作图可知,DF=DC=3, 设EF=EB=x,则DE=3+x,CE=3-x, ∵在Rt△CDE中,CE2+CD2=DE2, ∴(3-x)2+32=(3+x)2,解得x= , ∴CE=3-x=3- = .故选D. 5.【学科特色·教材变式】【学科特色·十字架模型】如图,已 知点E,F分别是正方形ABCD的边AD,CD上的点,且AE=DF,连 接BE,AF,交点为G,则BE与AF的数量与位置关系是_____ _____. BE⊥AF BE=AF, 解析 ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠BAE=∠D=90°, 在△BAE和△ADF中, , ∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF,∠BEA=∠AFD, ∵∠AFD+∠FAD=90°,∴∠BEA+∠FAD=90°, ∴∠AGE=90°,∴BE⊥AF.故答案为BE=AF,BE⊥AF. 6.(2024江苏徐州中考)如图,四边形ABCD为正方形,点E在BD 的延长线上,连接EA,EC. (1)求证:△EAB≌△ECB. (2)若∠AEC=45°,求证:DC=DE. 证明 (1)∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=BC,∠ABE=∠CBE=45°, 又∵BE=BE,∴△EAB≌△ECB(SAS). (2)∵四边形ABCD为正方形,∴∠BDC=45°, ∵△EAB≌△ECB,∠AEC=45°, ∴∠CED=∠AED= ∠AEC=22.5°, ∵∠BDC=∠CED+∠DCE=45°, ∴∠DCE=45°-22.5°=22.5°, ∴∠CED=∠DCE,∴DC=DE. 7.(2025江苏无锡宜兴期中,★★)如图所示的是由四个全等 的直角三角形拼成的图形,设CE=a,HG=b,则四边形ABDF的 面积是 ( ) A. B. C.(a+b)2 D.(a-b)2 B 解析 ∵题图是由四个全等的直角三角形拼成的图形,∴AB= BD=DF=AF,AH=CD=EF=FG,AG=BH=BC=DE,且∠BAF=90°, ∴四边形ABDF是正方形, 设CD=m,BC=n,则 整理得 ∴BD2=BC2+CD2=n2+m2= + = , ∴四边形ABDF的面积是 .故选B. 8.【学科特色·一线三等角模型】(2024江苏南京期末,★★) 如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角,且E,A, B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是_____. 8 解析 ∵四 ... ...
