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课件网) 3.直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定 第一章 三角形的证明 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？ 如果其中一组等边的对角都是直角呢？ A B C F E D 如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E。若AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC 与Rt △DEF是否全等？ 尝试交流 已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢？ （1）假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗？ （2）你是按照怎样的步骤画这个草图的？先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流。 如图，已知线段 a，c（a＜c），用尺规作Rt△ABC，使∠C =90°，AB = c，BC = a。 a c 1.作射线CN。 2.过点C作射线CN的垂线CM。 3.在射线CM上截取CB=a。 4.以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A。 5.连接AB。 △ABC就是所要作的直角三角形。 C N M B A 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 猜想：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′。 求证：△ABC≌△A′B′C′。 A C B A' C' B' 证明：在△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴BC2 = AB2 – AC2（勾股定理）。 同理，B'C'2 = A'B'2 – A'C'2。 ∵AB = A'B'，AC = A'C'， ∴BC = B'C'。 ∴△ABC ≌△A'B'C'（SSS）。 “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). AB=A′B′, BC=B′C′, 判定两个直角三角形全等的思路： 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 一锐角 斜边(H) 一直角边(L) “ASA”或“AAS” 一边对应相等 “HL”或“AAS” 一条直角边对应相等或一锐角对应相等 “HL”或“SAS” 或“ASA”或“AAS” 另一边对应相等或一锐角对应相等 方法技巧 运用直角三角形的性质与判定来解题，两锐角互余。 例1.如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA 和∠EFD 的大小有什么关系？ 解：根据题意，可知 ∠BAC =∠EDF = 90°， BC = EF，AC = DF， ∴Rt△BAC ≌Rt△EDF（HL）。 ∴∠CBA =∠DEF（全等三角形的对应角相等）。 ∵∠DEF +∠EFD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠CBA +∠EFD = 90°。 方法技巧 运用直角三角形的直角边斜边来判定三角形全等。 例2.如图，在 △ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB， BD=CE. 求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC =∠BDC = 90°. 在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中， CE = BD， BC = CB， ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). “斜边、直角边” 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一组边相等) 变式训练 1. 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，∠B′ =∠A，AB = B′A′，则下列结论正确的是（ ） A. AC = A′C′ B. BC = B′C′ C. AC = B′C′ D.∠A′=∠A C 变式训练 2.如图，AD，BC相交于点O，AC=BD，∠C=∠D=90°。 （1）求证：△AOC≌△BOD； （2）△ABC和△BAD全等吗？请说明理由。 （1）证明：在△AOC和△BOD中， ∵∠AOC=∠BOD，∠C=∠D=90°，AC=BD， ∴△AOC≌△BOD（AAS）。 （2）解：△ABC和△BAD全等。理由： 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∵AB=BA，AC=BD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL ... ...
