(课件网) 1.3 直角三角形 (课时1) 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版(2024) 素养目标 2.熟练掌握直角三角形的性质定理及判定定理，并能进行相关计算和证明； 1.探索并证明直角三角形的性质定理及判定定理； 3.结合具体事例理解逆命题、互逆命题、逆定理的概念，能识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立. 新知导入 我们曾经探索过直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 证明：在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. ∵∠C=90°， ∴ ∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°. 请你证明这一结论. C B A 定理 归纳总结 直角三角形的两个锐角互余. 符号语言：在△ABC中， ∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°. C B A 探究新知 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. ∵∠A+∠B=90°， ∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°， ∴△ABC是直角三角形. 请你证明这一结论. C B A 归纳总结 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 符号语言：在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°. C B A 探究新知 a b c 在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 ＋ b2 ＝ c2 我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. 实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理. 探究新知 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝ a，AC ＝ b，AB＝ c. 分别以 Rt△ABC 的三边为边长作正形 AHIB，ACDE，CBFG. 连接 EB，CH. D E F G H I A B C a b c 过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N. ∵EA＝CA，∠EAB＝∠CAH＝90°＋∠CAB，AB ＝ AH， ∴△EAB≌△CAH (SAS). 又∵S正方形 ACDE＝ 2S△EAB，S长方形AHNM ＝ 2S△CAH， ∴b2 ＝ S长方形AHNM， 同理 a2 ＝ S长方形MNIB. ∴c2 ＝ a2 + b2. M N 探究新知 在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论. 你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗？ 探究新知 已知：如图，在△ABC 中，满足 AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC 是直角三角形． A B C 分析：要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角.这里的已知条件是边的关系，由此你能想到什么？ 借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗？ 探究新知 证明：如图，作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC， 则A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理). ∵AB2+AC2=BC2， ∴BC2=B′C′2. ∴ BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等). 因此，△ABC是直角三角形. C A B C ′ A′ B′ 归纳总结 定理 如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言：在△ABC中， ∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°. C B A 探究新知 ①定理 直角三角形的两个锐角互余. ②定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 观察上面两个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？ 第一个定理的条件和结论分别是第二个定理的结论和条件. 条件 直角三角形 有两个角互余的三角形 结论 两个锐角互余 直角三角形 探究新知 ①定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. ②定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 观察上面两个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？ 第一个定理的条件和结论 ... ...
