第二讲 函数的最值 主讲人：高云 一、选择题 1．如果在区间[1,2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是 A．4++ B．4－+ C．1－+ D．以上答案都不对 解析：B 2．已知x、y都在区间(－2,2)内，且xy=－1，则函数u=+的最小值是 A． B． C． D． 解析：D 3．已知a、b、cR*，则f(x)=+的最小值是 A．+ B．+ C．c++ D． 解析：D 二、填空题 4．f(x)=|x2－a|在区间[－1,1]上的最大值M(a)的最小值为 。 解析： 5．函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在区间[－3,3]上的最小值是 。 解析：4 6．若不等式|x－4|+|x－2|+|x－1|+|x|≥a对一切实数x成立，则a的最大可能值是 。 解析：5 三、解答题 7．在区间[,2]上，函数f(x)=－x2+px+q与g(x)=在同一点取得相同的最大值，求f(x)在区间[,2]上的最小值。 解析：∵g(x)==≤ ∴当x=1时，gmax(x)= ∴f(x)=－(x－1)2+ ∴当x=2时，fmin(x)=－。 8．已知定义在R上的函数f(x)对任意实数对(x,y)恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=－。 ①求证：f(x)为奇函数；②求证：f(x)在R上是减函数；③求f(x)在[－3,6]上的最值。 解析：①令x=y=0，则f(0)=0，令y=－x得f(x)+f(－x)=f(0)=0f(－x)=－f(x)f(x)为奇函数 ②设x1、x2R且x1>x2，则x1－x2>0f(x1－x2)<0 ∴f(x1)－f(x2)=f[(x1－x2)+x2]－f(x2)= f(x1－x2)+f(x2)－f(x2)= f(x1－x2)<0 ∴f(x)为减函数 ③由②知fmin(x)=f(－3)=－f(3)=－[f(2)+f(1)]=－3f(1)=2；fmax(x)=f(6)=6f(1)=－4。 9．已知a为正常数，x>0，求函数y=x++的最小值。 解析：∵y=x++= x++ ∴令t= x+ ∵a为正常数，x>0 t= x+≥2 ∴y=t+ (t≥2) ∴①当0
时，t≥2≥1, y=t+是增函数当t=2时，ymin=2+； 10．已知f(x)=ax2+bx+c，其中aN*,bN,cZ。 ①若b>2a，且f(sinx) (xR)的最大值为2，最小值为－4，试求f(x)的最小值； ②若对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立，且存在x0，使得f(x0)<2(x02+1)成立，试求c的值。 解析：①∵b>2a－<－1f(x)在[-1,1]上的增函数 ∵|sinx|≤1 ∴fmin(sinx)=f(－1)=－4, fmax(sinx)=f(1)=2 a－b+c=－4, a+b+c=2 b=3 ∴a=1, c=－2 ∴f(x)=x2+3x－2=(x+)2－ ∴当x=－时，fmin(x)=－。 ②令x=1代入4x≤f(x)≤2(x2+1)得f(1)=4a+b+c=4 ∵4x≤f(x)ax2+(b－4)x+c≥0恒成立 ∴ ≤0(b-4)2-4ac≤0(-a-c)2-4ac≤0(a-c)2≤0a=c ∵bNa+c≤42c≤4c≤2c=1或c=2 经检验c=2不合题意，应舍去 ∴c=1 11．求函数y=的最值，其中|x|≤1。 解析：∵y==(x2+2x+7)+－1 设u= x2+2x+7=(x+1)2+6[6,10] ∵y=u+－1在[6,8]上是减函数；在[8,10]上的增函数 ∴ymin=15；ymax= 12．已知f(x)=lg(x+1), g(x)=2lg(2x+t) (tR是参数)，如果x[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围。 解析：∵f(x)≤g(x) ∴x[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立 x[0,1]时，t≥－2x+恒成立 设h(x)= －2x+，令u=x=u2－1 (1≤u≤) ∴h(x)=－2(u－)2+ ∴当u=1x=0时，hmax(x)=1 ∴t的取值范围为[1,+∞)。 13．已知函数f(x)=log2 (m,nR)。 ①若mN*,xR且f(x)的最大值为2，最小值为1，求m,n的值； ②若n=－1，且f(x)的值域为R，求m的取值范围。 解析：①令t=(3-mt)x2+2x+n-t=0 ∵ ≥04－4(3-mt)( n-t)≥0mt2－(3+mn)t+3n-1≤0 ∵2≤t≤4 ∴或(不符合题意，舍去) ②∵t=(3-mt)x2+2x-1-t=0 ∴ ≥04-4(3-mt)( -1-t)≥0mt2-(3-m)t-4≤0 (1)当m=0时，t≥-，符合题意 (2)当m≠0时，要使函数的值域包含(0,+∞)，只须m<0时，方程mt2-(3-m)t-4=0有两个负根 ∴m≤-9或-1≤m<0 ∴所求m的联欢会范围为(-∞,9]∪[-1,0]。 14．求函数f(x)=－的最大值。 解析：∵f(x)=－=－ ∴函数y=f(x)的几何意义是抛物线y=x2上的点P(x, ... ... 
