导数的应用-函数的最值1

课件13张PPT。导数的应用—函数的最大值与最小值（1）1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是: ①如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0) 是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.3.在某些实际问题中,我们所关心的往往是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.前课复习如何用导数来解决函数的最大值、最小值问题？观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.发现图中_____是极小值，_____是极大值，在区间上的函数的最大值是_____，最小值是_____。 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 连续函数的最大值和最小值定理如果f(x)是闭区间[a , b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间 [a , b]上必有最大值和最小值。新课引入 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.新课教学(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.新课教学例 求函数 y=x4-2x2+5在区间[-2 , 2 ]上的最大值与最小值。1313当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：故函数的最大值为13,最小值为4.例题讲解当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：比较以上各函数值，可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=－5解: (1) 由 f ′(x)=3x2 +6x－9=0,(2) 区间［－4 , 4 ］端点处的得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5函数值为f (－4) =20 , f (4) =76例题讲解求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。最大值 f (－1)=3，最小值 f (3)= －61最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (－5)= －5+ 课堂练习最大值 f (－π/2)=π/2，最小值 f (π/2)= －π/2 例:求函数 在区间[-1,3]上的最大值与最小值.解:令 ,得相应的函数值为:又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0比较得, f(x)在点 处取得最大值 在点 处取得最小值例题讲解练习:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最大值.解:令 ,解得在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是练习:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最大值和最小值.答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.课堂练习练习：P132设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 注：如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导 ... ...