导数的应用-函数的最值2

课件17张PPT。导数的应用—函数的最大值与最小值（2）设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.前课复习(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.前课复习（1）如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)， 则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值).函数的最值一般有两种特殊情况：新课教学(2)如果连续函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间[a, b]上的最大(小)值.新课教学函数的最值的另一种特殊情况：满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.2、求最大（最小）值应用题的一般方法:(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;(2)确定函数定义域，并求出极值点;(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点.1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来:首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解.新课教学解:设箱底边长为x cm， 箱子容积为V=x2 h例、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？箱高V ′=60x－3x2/2令V ′=0，得x=40, x=0(舍去)得V (40)=16000当x过小（接近于0）或过大(接近于60)时，V→0,即箱子容积很小。当x=40时,容积最大为16000新课教学 在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内只有一个x0 使f ′(x0)=0,而且从实际问题本身又可以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不必与端点比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值.(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)例、要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？解:设桶底面半径为R,因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值例、已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q, 价格p与产量q的函数关系式为 求产量q为何值时, 利润L最大.分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.求得唯一的极值点因为L只有一个极值点,所以它是最大值.解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为令 ,在 的范围内有 唯一解x=15.所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.注:可以进一步讨论, ... ...