1.6.1 垂直关系的判定 同步练习1（含答案）

1.6.1 垂直关系的判定 同步练习 一、选择题(每小题4分，共16分) 1.已知直线a∥β，则过a与β垂直的平面有( ) (A)有且只有一个 (B)2个 (C)无数个 (D)不存在 2.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的 平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA=AC， 则二面角P-BC-A的大小为( ) (A)60° (B)30° (C)45° (D)90° 3.设l是直线α，β是两个不同的平面( ) (A)若l∥α， l∥β，则α∥β (B)若l∥α，l⊥β，则α⊥β (C)若α⊥β， l⊥α，则l⊥β (D)若α⊥β， l∥α，则l⊥β 4.如图，四边形ABCD中，AD=AB，AD∥BC，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( ) (A)平面ABD⊥平面ABC (B)平面ADC⊥平面BDC (C)平面ABC⊥平面BDC (D)平面ADC⊥平面ABC 二、填空题(每小题4分，共8分) 5.□ABCD的对角线交 于点O，点P在□ABCD所在平面外，且PA=PC， PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是_____. 6.已知点E，F分别在正方体ABCD -A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 _____. 三、解答题(每小题8分，共16分) 7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)， 且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE． 8.(易错题)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直，如图2. (1)求证：平面BDE⊥平面BEC； (2)求平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的大小. 【挑战能力】 (10分)已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1， AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E，F分别是AC，AD 上的动点，且 (0<λ<1). (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； (2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ 答案解析 1.【解析】选A.过a上任意一点，有且只有一条直线l与β垂直，l与a惟一确定一个平面，该平面与β垂直. 2.【解析】选C.∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC，易得BC⊥AC，又∵PA∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC， ∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角. 在Rt△PAC中，PA=AC，∴∠PCA=45°. 3.【解题指南】根据线面平行与线面垂直的判定与性质进行判断. 【解析】选B. 若l∥α， l∥β，则α，β可能相交，故A错；若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，又l⊥β，则m⊥β，又mα，故α⊥β，故B对；若α⊥β， l⊥α，则l∥β或lβ，故C错；若α⊥β， l∥α，则l与β关系不确定，故D错． 4.【解析】选D.由平面图形易知∠BDC=90°， ∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，CD平面BCD ∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB. 又AB⊥AD，AD∩CD=D，∴AB⊥平面ADC. 又AB平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC. 5.【解析】∵AO=CO，PA=PC， ∴PO⊥AC. ∵BO=DO，PD=PB，∴PO⊥BD. 又AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD. 答案：PO⊥平面ABCD 6.【解析】如图所示，延长FE、CB相交于点G. 连接AG，设正方体的棱长为3， 则GB=BC=3，作BH⊥AG，连接EH. 则∠EHB为所求二面角的平面角. ∵BH=EB=1，∴ 答案： 7.【解题指南】(1)关键在平面ADE与平面BCC1B1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直. (2)关键在平面ADE内找一条直线与直线A1F平行. 【证明】(1)D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE， 又因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， 所以有BB1⊥平面ADC，即有AD⊥BB1. 又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交， 所以AD⊥平面BCC1B1. 又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中， A1B1=A1C1，所以有AB=AC. 又由(1)知AD⊥平面BCC1B1， 所以AD⊥BC， 所以D为边BC上的中点， 连接DF，得AA1FD为平行四边形，故A1F ... ...