1.2 有理数 教案（教师用）

1.2 有理数 【拓展阅读】 我们可以直观地感受任意两个有理数之间都有 无数个有理数，比如有两个有理数挨得很近，她们的平均值显然也是一个有理数，这个平均值比两个数的任何一个都更靠近另一个数，我们可以再取挨得更近的两个数的平均值，以此类推，以至无穷，因此任意两个有理数之间都有无数个点对应着有理数. 在数轴上看，任意两个对应有理数的点之间都有无数个点对应着有理数. 那么，是不是数轴上的点都是对应有理数呢？ 我们来看看数0.1010010001…，这 个数接下去的规律是显然的，两个相邻的1之间依次多一个0.由于这个小数既不是有限的，也不是循环的，因此它不能化为分数，即它不是有理数. 但是我们知道它介于0.1和0.2之间，更小 的区域，它介于0.101与1.102之间，还有更小的区域，区域的宽度依次为0.1，0.001，0.000001…，如此下去，我们可以再有理数的空隙中找到这个数. 因此，数轴上有很多点没有对应有理数，有理数在数轴上的分布既是稠密的，又是空隙的. “糖水加糖变甜了”可以这一生活常识为背景提炼出比较数的大小的一些基本结论. 糖水的浓度相当于一个真分数，分子为含糖的量，分母为糖和水的和.“加糖”的数学描述———分子、分母同时加一个正数. 这就得到：若，则． 将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡. 这就得到：若，，则有． 指向关键点 数轴是用来标记数的直线，所 有的有理数都可以在数轴上找到一个点与之对应.一条直线规定正方向、原点、单位长度就成了数轴.数轴是研究数的工具，是数形结合的载体. 在数轴上，一个数的绝对值是指这个数所对应的点到原点的距离，0的绝对值是0. 数的相反数用表示.符号“-”有三层含义：①减号；②负号；③相反数的符号.比如，“3-1”既可以读作“3减去1”，又可以读作“3与-1的和”，还可以读作“3与1的相反数的和”. 数的大小是数学中的一个约定.在数轴上，若向右为正，那么，右边的点对应的数大于左边的点对应的数. 寻找支撑点 画数轴时，直线水平呈现时，正方向一般是 向右，直线铅锤时，正方向一般是向上.直线是无限伸展的，原点可以再任何位置选取，单位长度可以选择任意大小.原点和单位长度的选取应根据所要标记的数的实际状况，选择适当的位置和长度，同一条数轴，单位长度必须统一. 在数轴上，原点对应数0，原点右边的 点对应正数，原点左边的点对应负数，离原点越来越远的点对应的数的绝对值越大.互为相反数的数对应的点是关于原点对称的. 例1数轴上原点表示数_____，若点A在原点的右边，则点A表示的数是_____，若点B在原点左边2个单位，则点B表示的数是_____. 解：0；正数；-2. 例2 在下图所示的数轴上： （1）分别指出表示-2，3，-4的相反数的点； ( http: / / www.21cnjy.com / ) （2）A，H，D，O各表示什么数的相反数. 分析对于（1），先求出各数的相反数，再找相应 的点，或者先找到各数对应的点，在数轴上找到各点关于原点对称的点，即到原点的距离相等方向相反的点；对于（2）先读出各点对应的数，再求其相反数，或者先找到各点的对称点再读出对应的数. 解：（1）E，D，A；（2）-4，1，3，0. 正数与0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数.由此，一个数的绝对值非负.即． 例3 （1）当取何值时，有最小值，这个最小值为多少？ （2）当取何值时，3-有最大值，这个最大值为多少？ 分析对于（2），因为，被减数一定，减数越小，差越大. 解：（1）因为，，所以最小值为0，此时； （2）当时，3-有最大值等于3. 正数大于零，负数小于零，正数大于负数. 两个负数比较大小，先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小. 两个正数的大小比较有以下几种方法：①作差法，若，则，若，则；②作商法，若，，若， ... ...