2017年安徽省中考数学专题复习（六）圆的计算与证明(含答案)

专题复习(六)　圆的计算与证明 1．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E. (1)若∠B＝70°，求的度数； (2)若AB＝26，DE＝8，求AC的长． 解：(1)∵AB是半圆O的直径， ∴∠C＝90°. 又∵∠B＝70°，∴∠BAC＝20°. ∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°. 又∵OD＝OA， ∴∠OAD＝55°. ∴∠DAC＝35°. ∴∠DOC＝70°. ∴的度数是70°. (2)∵AB＝26，∴OD＝13. 又∵DE＝8，∴OE＝5. ∵OD∥BC，OA＝OB， ∴BC＝2OE＝10. ∴AC＝＝24. 2．(2016·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F； (2)若sinB＝，EF＝2，求CD的长． 解：(1)证明：连接DE. ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°. ∵E是AB的中点，∴DA＝DB. ∴∠1＝∠B. ∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F. (2)∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2. ∴AB＝2AE＝4. 在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4， ∴BC＝＝8. 设CD＝x，则AD＝BD＝8－x. ∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2， ∴x＝3，即CD＝3. 3．(2016·繁昌模拟)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A＝30°，D为的中点． (1)求证：AB＝BC； (2)判断四边形BOCD的形状，并说明理由． 解：(1)证明：∵AB是⊙O的切线， ∴∠OBA＝90°，∠AOB＝90°－30°＝60°. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. 又∵∠AOB＝∠OBC＋∠OCB， ∴∠OCB＝30°＝∠A. ∴AB＝BC. (2)四边形BOCD为菱形，理由如下： 连接OD交BC于点M. ∵D是的中点，∴OD垂直平分BC. 在Rt△OMC中，∵∠OCM＝30°， ∴OC＝2OM＝OD. ∴OM＝DM，即OD与BC互相垂直平分． ∴四边形BOCD是菱形. 4．(2016·合肥高新区一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长． 解：(1)证明：连接AE. ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°，即AE⊥BC. 又AB＝AC，∴BE＝CE. (2)连接DE. ∵BE＝CE＝3，∴BC＝6. ∵∠BAC＋∠DEC＝180°，∠DEC＋∠BED＝180°，∴∠BED＝∠BAC. ∵∠DBE＝∠CBA， ∴△BED∽△BAC. ∴＝，即＝，即BA＝9. ∴AC＝BA＝9. 5．(2016·宁国模拟)如图，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC. (1)若∠CPA＝30°，求PC的长； (2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，而∠CMP的大小不变，请求出∠CMP的大小． 解：(1)连接OC. ∵PC是⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°. 在Rt△OCP中，OC＝AB＝2，∠CPA＝30°， ∴PC＝＝＝2. (2)∵PM平分∠CPA， ∴∠MPA＝∠CPO. ∵∠CMP＝∠A＋∠MPA，∠A＝∠COP. ∴∠CMP＝(∠COP＋∠CPO)＝×90°＝45°. 6．(2016·安徽一模)如图1，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O交BC于点D，E. (1)当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由； (2)若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M，N两点(如图2)，MN＝2，求的长． 解：(1)当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60度或120度时与⊙O相切． 理由：当BA绕点B按顺时针方向旋转60度到BA′的位置时． 则∠A′BO＝30°， 过O作OG⊥BA′，垂足为G. ∴OG＝OB＝2. ∴BA′是⊙O的切线． 同理，当BA绕点B按顺时针方向旋转120度到BA′的位置时，BA′也是⊙O的切线． (或：当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA′的位置时，BA与⊙O相切，设切点为G，连接OG，则OG⊥AB. ∵OG＝OB，∴∠A′BO＝30°. ∴BA绕点B按顺时针方向旋转了60度． 同理可知，当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA′的位置时，BA与⊙O相切，BA绕点B按顺时针方向旋转了120度．) (2)∵MN＝2，OM＝ON＝2， ∴MN2＝OM2＋ON2. ∴∠MON＝90°， ∴l的长为l＝＝π. 7．(2016·合肥六大名校联考)如图，AB ... ...