求线段长度问题的一般方法 求线段长度问题是初中几何中常见的题型之一，笔者就此类问题作了一些思考与归纳，供大家参考. 一、将求线段长的问题转化到直角三角形中求解 例1如图1，在，，于，，，求的长. 简解 由勾股定理，得再由三角形的面积公式，得 于是得. 例2 如图2，在中，，，，求的长. 简析 作于点，这样就构造了两个. 在中， ， 由勾股定理，得，. 在中， ，从而. 例3 如图3，在平面直角坐标系中，⊙与轴相切于原点，平行于轴的直线交⊙于两点，.若点的坐标是，求点的坐标. 简析 如图3，作于点, 连，，则构造了两个直角三角形，. 不妨设，易得 ， 从而点的坐标为. 例4 如图4，点、、在半径为的⊙上，是⊙上的一条弦，，，求的长 简析 连，由条件可知，图中有四个直角三角形，分别是，，，. ∵，∴为⊙的直径， ∴, 又, ∴, 在中，易知，, 在中，，, 得. , 又, 故在中，由边角关系，得 . 说明 上述几例是将此线段置于某直角三角形之中，然后利用直角三角形的相关知识加以求解.值得注意的是，构造的直角三角形要与题目中的已知条件相互关联，才能使问题化繁为简，迅速求解. 二、将求线段长的问题转化到相似三角形中求解 例5 如图5，梯形中，，且，、分别是的，的中点，与相交于点. (1)求证: ; (2)若，求的长. 简解 (1)由题意，易得四边形是平行四边形.于是，有 ，∴ (2)由，得 . 例6 如图6，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的平分线上时，求的长. 解 过点作于点，并反向延长交于.由题意，得 ，设 在中， 有, 解得，. ，或. 易知 ，或. ，或. 例7 如图7，在中，，平分交于点，点在上，于点，，. (1)判断直线与的外接圆的位置关系，并说明理由; (2)求的长. 简解 (1)由为外接圆的直径.设外接圆的圆心为，连，易知. . 又. , 故直线与的外接圆相切. (2)易知 , 又因. , . 由，得, 进而得. 由，有, . 说明 上述几例是将该线段作为某三角形的一边，然后想方设法找一个三角形使之与该线段所在的三角形相似，借用“相似三角形对应边成比例”得到简易方程，进而求解. 三、利用条件， 构造方程(组)求线段长 例8 (1)如图8，周长为68的矩形被分成7个全等的矩形，求矩形的面积. 解 设矩形的宽与长分别为 则有，解之得. 故. 例9 如图9, ⊙是的内切圆，与三边分别相切于点，若，求的长. 解 由切线长定理，可设 ，. 由题意得，解之得. 故. 例10 如图10，李明同学在东西走向的滨海大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上;他向东走了400米至B处，测的灯塔P在北偏东30°方向上.求灯塔P到滨海路的距离. 解 作于点.设 . 在Rt与Rt中，有, 于是, . 这里， 代入得. 例11 如图11，在Rt中，是上一点，且，点在上，⊙与都相切.求⊙的半径. 简析 设⊙的半径为，⊙分别与相切于，连结.由条件易知，， ，. 在Rt中， 有， 解得. 说明 上述几例是根据题中条件，通过设未知量构造方程(组)加以求解的.通过设未知量构造方程(组)求解，常常会使复杂问题简单化，其思路清晰，易于学生接受. ... ...
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