期末复习五 特殊平行四边形 复习目标 要求 知识与方法 了解 矩形、菱形、正方形的概念 理解 矩形、菱形、正方形的判定与性质 运用 用矩形、菱形、正方形的判定与性质解决简单几何问题 必备知识与防范点 一、必备知识： 1． 已知：线段AB，BC，∠ABC=90°． 求作：矩形ABCD． 以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①以点C为圆心，AB长为半径画弧； ②以点A为圆心，BC长为半径画弧； ③两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）． 乙：①连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M； ②连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（ ） A． 甲正确，乙错误 B． 乙正确，甲错误 C． 甲、乙均正确 D． 甲、乙均错误 2. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为 cm2. 3． 如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为 ． 4． 如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是 . 二、防范点： 1． 矩形、菱形、正方形的判定书写要规范； 2． 矩形、菱形、正方形的性质可从边、角、对角线、整体四个角度去考虑. 例题精析 考点一 菱形的性质 例1 如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连结BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连结AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABMD=AM2． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 反思：由已知BM＝DH联想△BMA≌△DHA，而全等的关键是证∠ABM＝∠ADH＝∠BED. 考点二 菱形的判定 例2 已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）： （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）求折痕EF的长. 反思：熟练掌握菱形的性质及判定，能够利用菱形的性质求解一些简单的计算问题. 考点三 矩形、菱形、正方形综合 例3 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝10，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF，BF. （1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若AE＝x，求△EBF的面积S关于x的函数表达式，并判断是否存在x，使△EBF的面积是△CGF面积的2倍. 若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由； （3）求△GCF面积的最小值. 反思：（1）证第（1）小题图形不准，要抓住△GDH≌△HAE（HL），证明∠GHE＝90°；（2）解第（2）小题的关键是构造△FNG≌△HAE，△FEM≌△HGD；（3）求△GCF面积的最小值要抓住GC边上的高不变，GC最小只要DG最大，DH＝4，∴GH＝HE最大，∴点E与点B重合时，△GCF的面积取最小. 考点四 特殊平行四边形拓展探究 例4 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM. 【探究展示】（1）证明：AM＝AD＋MC； （2）AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明. 反思：（1）常规辅助线：“中点＋平行”构造全等，角平分线构造全等；（2）证“一条线段＝两线段和”类型常用截长补短法；（3）第（1）小题也可过E作EH⊥AM于H，再证HM＝CM得证. 校内练习 1． 如图所示，点B，C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为 . 2． 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，设∠A＝x°，则∠FPC的度数为 ... ...
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