走进2018中考数学典型问题研究第六讲新定义问题研究（解析版）

走进2018中考数学典型问题研究第六讲新定义等问题研究 类型1：新运算 【例题1】 （2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b=2a﹣b．例如：5 2=2×5﹣2=8，（﹣3） 4=2×（﹣3）﹣4=﹣10． （1）若3 x=﹣2011，求x的值； （2）若x 3＜5，求x的取值范围． 【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程． 【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得； （2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得． 【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011， 解得：x=2017； （2）根据题意，得：2x﹣3＜5， 解得：x＜4． 【举一反三】 （2017甘肃天水）定义一种新的运算：x y=，如：3 1==，则（2 3） 2=　2　． 【考点】1G：有理数的混合运算． 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：根据题中的新定义得：（2 3） 2=（） 2=4 2==2， 故答案为：2 类型2：新定义 【例题2】 （2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为　113°或92°　． 【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质． 【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可． 【解答】解：∵△BCD∽△BAC， ∴∠BCD=∠A=46°， ∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD， ∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD， ①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC==67°， ∴∠ACB=67°+46°=113°， ②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°， ∴∠ACB=46°+46°=92°， 故答案为113°或92°． 【举一反三】 （2017湖北荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程； ②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3； ③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程． 上述结论中正确的有（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点． 【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断； ②设x2=2x1，得到x1 x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论； ③根据“倍根方程”的定义即可得到结论； ④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论； 【解答】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得 （x﹣4）（x+2）=0， 解得x1=4，x2=﹣2， ∵x1≠2x2，或x2≠2x1， ∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程． 故①错误； ②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程， ∴设x2=2x1， ∴x1 x2=2x12=2， ∴x1=±1， 当x1=1时，x2=2， 当x1=﹣1时，x2=﹣2， ∴x1+x2=﹣a=±3， ∴a=±3，故②正确； ③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程， ∴x2=2x1， ∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3， ∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0）， 故③正确； ④∵点（m，n）在反比例函数y=的图象上， ∴mn=4， 解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣， ∴x2=4x1， ∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程； 故选C． 类型3：新标准 【例题3】 ... ...