第十二讲运动型问题 【专题知识结构】 【专题解题分析】 运动型问题在中考中的常考点有函数中的动点问题，几何图形中的动点问题，图形运动型问题等．近几年来动态问题成了中考命题的热点，常常以压轴题的形式出现． 解决运动型问题常用的数学思想是方程思想，数学建模思想，函数思想，转化思想等；常用的数学方法有分类讨论法，数形结合法等. 【典型例题解析】 例题1: （2017.四川眉山）△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是 120° ． 【考点】R3：旋转对称图形． 【分析】根据旋转的性质及等边三角形的性质求解． 【解答】解：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合， 根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°． 故答案为：120°． 例题2: 如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长是（ ） A． B． C． D． 【考点】E7：动点问题的函数图象． 【分析】根据运动速度乘以时间，可得PQ的长，根据线段的和差，可得CP的长，根据勾股定理，可得答案． 【解答】解：点P运动2.5秒时P点运动了5cm， CP=8﹣5=3cm， 由勾股定理，得 PQ==3cm， 故选：B． 例题3：如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于 cm． 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）． 【分析】根据折叠得：GH是线段AB的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的长，即折痕的长． 【解答】解：如图，折痕为GH， 由勾股定理得：AB==10cm， 由折叠得：AG=BG=AB=×10=5cm，GH⊥AB， ∴∠AGH=90°， ∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°， ∴△ACB∽△AGH， ∴=， ∴=， ∴GH=cm． 故答案为：． 例题4：( 2017达州)如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F． （1）若CE=8，CF=6，求OC的长； （2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案； （2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF， ∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF， ∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF， ∴OE=OC，OF=OC， ∴OE=OF； ∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°， ∴∠ECF=90°， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==10， ∴OC=OE=EF=5； （2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 连接AE、AF，如图所示： 当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键． 例题5：（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD． 小亮展示了另一种正 ... ...
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