第4讲 二次根式 知识梳理 1.二次根式 （1）二次根式：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。 （2）最简二次根式 ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能够开方的因数或因式； （3）将二次根式化成最简二次根式的一般步骤： ①把根号下的带分数或小数化成假分数或者真分数； ②被开方数是多项式的进行因式分解； ③使被开方数不含分数； ④将被开方数中能开得尽的因数或因式进行开方； ⑤化去分母中的根号 ⑥约分。 （4）同类二次根式 将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。 （5）识别同类二次根式的方法： ①要在理解的基础上记住最简二次根式的概念，判断时只需要看被开方数； ②要注意当被开方数是多项式时，要先分解因式，找一找有没有开得尽方的因式和因数。 （6）二次根式的性质： ①把根号下的带分数或小数化成假分数或者真分数； ①； ②； a(a≥0), ③|a|= -a(a＜0)； ④； ⑤ 2.二次根式的运算 （1）分母有理化：把分母中的根号化去，使分母变成有理数，这个过程就叫做分母有理化。 （2）二次根式的加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式后，再合并同类二次根式。 （3）二次根式的乘法：两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。 乘法法则： （4）二次根式的除法：两个二次根式相除，括号里面被开方数相除。 除法法则： （5）二次根式的混合运算法则：先乘方后乘除，最后加减；若有括号，则先算括号里面的。 注意：二次根式运算的结果一定要化成最简二次根式。 【考点解析】 考点一：开方运算的应用 【例1】（2017内蒙古赤峰）能使式子+成立的x的取值范围是（ ） A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2 【考点】E4：函数自变量的取值范围． 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解． 【解答】解：根据题意得：， 解得：1≤x≤2． 故选：C． 考点二：二次根式的性质 【例2】若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+=0，再根据非负数的性质得x2﹣4x+4=0，2x﹣y﹣3=0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可． 【解答】解：根据题意得|x2﹣4x+4|+=0， 所以|x2﹣4x+4|=0， =0， 即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0， 所以x=2，y=1， 所以x+y=3． 故选A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了非负数的性质． 考点三:二次根式的运算 【例题3】（2017山东滨州）下列计算：（1）=2，（2）=2，（3）（﹣2）2=12，（4）（+）（﹣）=﹣1，其中结果正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】79：二次根式的混合运算． 【分析】根据二次根式的性质对（1）、（2）、（3）进行判断；根据平方差公式对（4）进行判断． 【解答】解：：（1）=2， （2）=2， （3）（﹣2）2=12， （4）（+）（﹣）=2﹣3=﹣1． 故选D． 【中考热点】 下列计算结果正确的是（ ） A．2+=2B． =2 C．（﹣2a2）3=﹣6a6D．（a+1）2=a2+1 【考点】二次根式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 【分析】依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算． 【解答】解：A、2+不是同类二次根式，所以不能合并，所以A错误； B、=2，所以B正确； C、（﹣2a2）3=﹣8a6≠﹣6a6，所以C错误； D、（a+1）2=a2+2a+1≠a2+1，所以D错误． 故选B 【达标检测】 1. 下列运算正确的是（ ） A．（x﹣y）2=x2﹣y2 B．|﹣2|=2﹣ C．﹣= D．﹣（﹣a+1）=a+1 【分析】根据完全平方公式，二次根式的化简以及去括号的法则进行解答． 【解答】解：A、原式 ... ...
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