第10讲一次函数的图象与性质 知识梳理 (1)一次函数 如果y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数． 特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数． (2)一次函数的图象 一次函数y＝kx＋b的图象是一条经过(0，b)点和点的直线． 特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线． 需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等价于“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象”，因为还有直线y＝m(此时k＝0)和直线x＝n(此时k不存在)，它们不是一次函数图象． (3)一次函数的性质 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标为(0，b)，与x轴的交点坐标为． (4)用函数观点看方程(组)与不等式 ①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，当y＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标． ②二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标． ③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围． 【考点解析 题型一 一次函数的图象与性质 例1（2017湖南株洲） 如图示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为 π ． 【考点】F9：一次函数图象与几何变换；O4：轨迹． 【分析】先利用一次函数的解析式可确定A（﹣1，0），B（0，），再利用正切的定义求出∠BAO=60°，利用勾股定理计算出AB=2，然后根据弧长公式计算． 【解答】解：当y=0时， x+=0，解得x=﹣1，则A（﹣1，0）， 当x=0时，y=x+=，则B（0，）， 在Rt△OAB中，∵tan∠BAO==， ∴∠BAO=60°， ∴AB==2， ∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度==π． 故答案为π． 题型二 确定一次函数的解析式 例2（2017 宁德）如图，直线ι是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线ι上，则m的值是（ ） A．﹣5 B． C． D．7 【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】待定系数法求出直线解析式，再将点A代入求解可得． 【解答】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入，得： 解得：， ∴y=x+1， 将点A（3，m）代入，得：+1=m， 即m=， 故选：C． 【点评】本题主要考查直线上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 题型三 一次函数的图象的平移 例3如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线将图形分成面积相等的两部分，则将直线向右平移3个单位后所得到直线的函数关系式为 . 【答案】 考点：一次函数图象与几何变换 【解析】 试题分析：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C， ∵正方形的边长为1， ∴OB=3， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边分别是4， ∴三角形ABO面积是5， ∴OB AB=5， ∴AB=， ∴OC=， 由此可知直线l经过（，3）， 设直线方程为y=kx， 则3=k， k=， ∴直线l解析式为y=x， ∴将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为； 故答案为：． 题型四一次函数与方程(组)、不等式的关系 例4（2017乌鲁木齐）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象，如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ） A．x＜2 B．x＜0 C．x＞ ... ...
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