21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 数列 热点一 等差数列、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于 读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用. 【例1】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.21教育网 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{an}的公比为q， 因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3， 于是q2＝＝. 又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－. 故等比数列{an}的通项公式为an＝× ＝(－1)n－1·. (2)由(1)得Sn＝1－＝ 当n为奇数时，Sn随n的增大而减小， 所以1Sn－≥S2－＝－＝－. 综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤. 所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－. 【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问 题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【来源：21·世纪·教育·网】 【对点训练】已知数列{an}是公差不为零的 等差数列，其前n项和为Sn，满足S5－2a2＝25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项.2-1-c-n-j-y (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设Tn是数列的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.21*cnjy*com 解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， ∴ 解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1. ∵b1＝a1＝3，b2＝a4＝9， ∴等比数列{bn}的公比q＝3，∴bn＝3n. (2)不存在.理由如下： ∵＝＝， ∴Tn＝ ＝， ∴1－2Tk＝＋(k∈N*)， 易知数列为单调递减数列， ∴<1－2Tk≤，又＝∈， ∴不存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立. 热点二 数列的通项与求和 数列的通项与求和是高考必考 的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例2】设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. (1)解 由题意有 即 解得或 故或 (2)解 由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1， 故cn＝， 于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋＋＋…＋.② ①－②可得 Tn＝2＋＋＋…＋－ ＝3－， 故Tn＝6－. 【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构) 若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.21世纪教育网版权所有 第二步：(乘公比) 设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减) 乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和) 将作差后的结果求和，从而表示出Tn. 【对点训练】已知数列{an}，an＝(－1)n－1，求数列{an}的前n项和Tn. 解 an＝(－1)n－1， 当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝1－＝. 当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝1＋＝. 所以Tn＝(或Tn＝). 热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题 数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的 综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.21·cn·jy·com 【例3－1 ... ...
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