21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 第6讲最大小值类问题 最值问题，也就是最大值和最小值问题，这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度． 最值问题一般有三类，一是以几何背景的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )最值问题，一般可以看成是运动变化的图形在特殊位置时，与图形有关的几何量达到最大或最小值；二是有关函数的最值问题，如一次函数、反比例函数和二次函数；三是实际背景问题，来求最优化问题．21教育网21教育名师原创作品 关键是要结合题意，借助相关的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型(函数增减性、线段公理、三角形三边关系等)进行分析与突破 2-1-c-n-j-y21*cnjy*com 考点1：线段之和最值问题 【典型例题】：（2017贵州安顺） ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 6 ．21*cnjy*com21·世纪*教育网 【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质． 【分析】由于点B与D关于AC对称， 所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的边长为6，可求出AB的长，从而得出结果． 【解答】解：设BE与AC交于点P，连接BD， ∵点B与D关于AC对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最小． 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度； ∵正方形ABCD的边长为6， ∴AB=6． 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=6． 故所求最小值为6． 故答案为：6． 【变式训练】： （2017毕节）如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ） A． B． C． D．6 考点2：线段之差或线段最值问题 【典型例题】：（2017.湖南怀化）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为 10 ﹣10 cm． 【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质． 【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PB为底．③若以边PC为底．分别求出PD的最小值，即可判断． 【解答】解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10， ∴∠A=∠C=60°， ∴△ABD，△BCD都是等边三角形， ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10 ﹣10； ③若以边PC为底，∠PBC为顶角 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； 综上所述，PD的最小值为10 ﹣10（cm）； 故答案为：10 ﹣1． 【变式训练】： ( 2017湖南怀化)如图，在菱形ABC D中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为 cm． 考点3：表面展开最值问题 【典型例题】：我国古代有这 ... ...
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