小升初奥数专题 第五讲 整数问题之一

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 小升初奥数专题讲座（共二十五讲） 第五讲 整数问题之一 整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。【来源：21·世纪·教育·网】 　　对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示： 　　49=4×10+9， 　　235=2×100+3×10+5， 　　7064=7×1000+6×10+4， 　�———�……………… 　　 　　就是 　　 5.1 整除 　　整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.2-1-c-n-j-y 　　1.整除的性质 　　性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）. 　　例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）. 　　性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。 　　例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24. 　　性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定 　　能被m和n的最小公倍数整除. 　　例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36. 　　如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的. 　　例如：7与50是互质的，18与91是互质的. 　　性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除. 　　例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72 　　能被3与4的乘积12整除. 　　性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.21教育网 　　性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互 　　质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路： 　　要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除. 　　能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.21教育名师原创作品 　　2.数的整除特征 　　（1）能被2整除的数的特征： 　　如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除. 　　（2）能被5整除的数的特征： 　　如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除. 　　（3）能被3（或9）整除的数的特征： 　　如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除. 　　（4）能被4（或25）整除的数的特征： 　　如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除. 　　（5）能被8（或125）整除的数的特征： 　　如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除. 　　（6）能被11整除的数的特征： 　　如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除. 　　 　　是什么数字？ 解： 　　根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型. 　　例2 一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上. 解： 　　例3 在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小. 解： 　　例4 四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数. 解： 　　例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？ 解： 　　 　　 　　例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少 ... ...