1.4 二次根式 一、二次根式 1.二次根式：式子 (a≥0)叫做二次根式。二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是 数。21教育网 2.最简二次根式： ①定义：若二次根式满足“被开方数的因数是 ，因式是 ；被开方数中不含能开得尽方的 或 ；分母中不含 ”，这样的二次根式叫做最简二次根式。 ②化简方法：分母 化。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。21·世纪*教育网 二、二次根式的性质 （1）非负性： (a≥0） （2）双重非负性： ≥ (a≥0） （3）= = （4）积的算术平方根的性质：= (a≥0，b≥0) （5）商的算术平方根的性质： = (a≥0，b＞0) （6）若a>b≥0，则 > ≥ 0. 三、二次根式运算 1．二次根式的乘除： 二次根式的乘法法则： = (a≥0，b≥0) 二次根式的除法法则：= (a≥0，b＞0) 2．二次根式的加减运算：先化简，再运算。 3.二次根式的混合运算： 运算顺序：先 ，再 ，最后 ，有括号的先算 的（或先去括号）。 运算结果：①结果的形式为 或 ；②分母中不含 。 考点一：二次根式定义及其有意义的条件 （2017春?潮南区期末）下列各式中一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义进行判断． 【解答】解：A、被开方数x2+1≥1，符合二次根式的定义，故本选项正确； B、当x＜0时，它没有意义，故本选项错误； C、它属于三次根式，故本选项错误； D、当x2﹣1＜0时，它没有意义，故本选项错误； 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的定义，一般地我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 变式跟进1（2016春?封开县期中）下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （2017?深圳模拟）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意得2﹣x≥0，解得，x≤2，故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 变式跟进2（2017春?韶关期末）二次根式中字母x的取值范围是（ ） A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3 考点二：最简二次根式、同类二次根式 （2016春?封开县期中）根式与是可以合并的最简二次根式，则a+b的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据同类二次根式的定义列出关于a、b的方程组，求出a、b的值即可． 【解答】解：∵根式与是可以合并的最简二次根式， ∴，解得， ∴a+b=4． 故选C． 【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解答此题的关键． 变式跟进3（2016春?广州校级期中）下列二次根式，不能与合并的是（ ） A． B． C．﹣ D． 考点三：二次根式的混合运算 （2017春?韶关期末）÷﹣×2． 【分析】先算除法和乘法，进一步化简合并即可． 【解答】解：原式=2﹣6=﹣4． 【点评】此题二次根式的混合运算，注意先化简再求值． 变式跟进4（2017?深圳一模）计算：（0.5）﹣2﹣+（﹣6）0﹣ 考点四：二次根式的化简与求值 （2017?广州）下列运算正确的是（ ） A．= B．2×= C．=a D．|a|=a（a≥0） 【分析】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案． 【解答】解：A、无法化简，故此选项错误； B、2×=，故此选项错误； C、=|a|，故此选项错误； D、|a|=a（a≥0），正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 变式跟进5（2016?广州 ... ...
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