高中数学第一章解三角形习题（打包22套）新人教B版必修5

1.2 应用举例 自主广场 我夯基 我达标 1.如图1-2-12，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，其中可以实现并可以计算得出AB长的数据是( ) 图1-2-12 A.α,a,b B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β,b 思路解析:根据实际情况,α、β都是不易测量的数据，而C中的a、b、γ很容易测量到，并且根据余弦定理AB2=a2+b2-2abcosγ能直接求出AB的长. 答案:C 2.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( ) A.a km B. km C. km D.2a km 思路解析:由图可知∠ACB=120°，AC=BC=a.在△ABC中，过点C作CD⊥AB，则AB=2AD=2acos30°=a. 图1-2-13 答案:B 3.在200 m的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( ) A. B. C. D. 思路解析:如图1-2-14所示，设塔高AB为h， 图1-2-14 在Rt△CDB中，CD=200，∠BCD=90°-60°=30°, ∴BC=. 在△ABC中，∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30°, ∴∠BAC=120°.,∴AB=m. 答案:A 4.在△ABC中，已知a-b=4,a+c=2b，且其最大内角为120°，则其最大边长为_____. 思路解析:由已知所给三边间的关系，先判断其最大边，再利用余弦定理把问题解决.由已知a-b=4,a+c=2b,得a=b+4,c=2b-a=b-4，故a为最长边. ∴A=120°. ∴cosA=，即=.解得b=10.∴a=14. 答案:14 5.在△ABC中，若(sinA+sinB+sinC)·(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB，则C=_____. 思路解析:本题所给条件中涉及的是三内角的正弦，容易想到将其展开化简，得到sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，而这个形式与余弦定理极为相似，然而余弦定理所涉及的是边角关系，于是可以先用正弦定理将三内角的正弦转化为边，即为a2+b2-c2=ab，所以cosC=，C=60°. 答案:60° 6.为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B,望对岸的标记物C，测得∠CAB=45°,∠CBA=75°，AB=120米，求河的宽度. 思路分析:由题意画出示意图，把问题转化为求△ABC的AB边上的高的问题.而由已知及正弦定理，可先求出AC，进而求得河宽. 解:如图所示，在△ABC中，由已知可得 图1-2-15 AC=. 设C到AB的距离为CD，则CD=·AC=20(+3)， ∴河的宽度为20(+3)米. 7.已知关于x的方程x2+xcosAcosB-1+cosC=0的两根之和等于其两根之积的一半，试判断△ABC的形状. 思路分析:本题与一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的关系，容易根据题意及根与系数间的关系得到三内角间的关系，从而判定△ABC的形状. 解:依题意,得-cosAcosB=,即2cosAcosB=1-cosC. ∴cos(A+B)+cos(A-B)=1+cos(A+B). ∴cos(A-B)=1. 又-π＜A-B＜π， ∴A-B=0,A=B. 故△ABC是等腰三角形. 我综合 我发展 8.在△ABC中，A＞B＞C，且三边a、b、c为连续自然数，且a=2ccosC.求sinA∶sinB∶sinC的值. 思路分析:本题已知条件中给出了边角间的关系，要求三内角正弦之比，可以根据正弦定理转化为求三边之比，进而去求三边长，从而将问题解决. 解:∵A＞B＞C,∴a＞b＞c. 又三边a、b、c为连续自然数，∴可设a=b+1,c=b-1. 由a=2ccosC,得cosC=.由余弦定理,得 cosC=，∴， 即(b+1)2=(b-1)(b+4),b=5.∴a=6,c=4. 由正弦定理,得sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4. 9.小明在内伶仃岛上的点A处，上午11时测得在A的北偏东60°的C处有一艘轮船，12时20分时测得该船航行到北偏西60°的B处，12时40分时又测得轮船到达位于A正西方5千米的港口E处，如果该船始终保持匀速直线运动.求： (1)点B到A的距离； (2)船的航行速度. 思路分析:本题所涉及的角比较多，首先应该考虑画出示意图，将题中所述条件正确地反映在图形上，这样比较直观，然后结合图形分析，不难根据正、余弦定理把问题解决. 解:(1)轮船从C处到点B用了80分钟，从点B到点E用了20分钟，轮船保持匀速直线运动. 故BC ... ...