15．2 线段的垂直平分线 1．掌握线段的垂直平分线概念． 2．掌握线段的垂直平分线的性质与判定． 重点 线段的垂直平分线的性质与判定． 难点 线段的垂直平分线的性质与判定的应用． 一、创设情境，导入新课 师：上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？ 生：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 师：什么是线段的垂直平分线呢？ 学生思考抢答． 生：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线． 师：很好！这节课我们继续学习线段的垂直平分线的有关内容(板书课题)． 二、合作交流，探究新知 探究一 线段垂直平分线的性质定理 教师引导学生作图：作已知线段AB的垂直平分线． 学生讨论作法． 教师总结作法： 1．分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D. 2．作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线． 学生作图． 师：你能说明为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线吗？ 学生交流讨论． 师：因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也可以用这种方法作线段的中点．线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等．怎样证明这个结论呢？ 学生交流讨论，教师参与． 师：这个命题的条件是什么？ 生：一个点是线段垂直平分线上的点． 师：结论呢？ 生：这个点与线段两端距离相等． 师：请同学们写出已知、求证，并证明． 教师找一名学生板演，其余同学在下面做，然后集体订正． 已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，P是MN上任意一点． 求证：PA＝PB. 证明：∵MN⊥AB.(已知) ∴∠AOP＝∠BOP＝90°.(垂直定义) 在△AOP与△BOP中， ∵ ∴△AOP≌△BOP.(SAS) ∴PA＝PB.(全等三角形的对应边相等) 探究二 线段垂直平分线的判定定理 如果把：“线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”的条件与结论互换，你能得到：“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，试分析这个结论正确吗？ 与性质相联系，教师引导学生动手做实验、运用全等等方法验证问题的正确性． 教师画出图形，由学生先分析，教师及时提示，利用直角三角形的判定方法给出证明，从而得到线段垂直平分线的判定方法． 三、运用新知，深化理解 例1 已知：如图所示，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P.求证：点P在BC的垂直平分线上． 学生讨论证明方法，并板演，然后集体证正． 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在AB，AC的垂直平分线上． ∴PA＝PB，PA＝PC，∴PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线上． 【归纳总结】三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等． 例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，DF，EG分别为AB和AC的垂直平分线，求∠DAE的度数． 分析：由题意可知∠DAE＝100°－(∠DAF＋∠EAG)，由DF和EG分别为AB和AC的垂直平分线可证△BDF≌△ADF和△CEG≌△AEG，得∠B＝∠DAF，∠C＝∠EAG.利用三角形内角和定理可求出∠B＋∠C，使问题得到解决． 解：∵DF是AB的垂直平分线，∴BF＝AF，BD＝AD.又∵DF＝DF，∴△BDF≌△ADF(SSS)．∴∠B＝∠DAF.同理可得∠C＝∠EAG.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，且∠BAC＝100°，∴∠B＋∠C＝80°，∴∠DAF＋∠EAG＝80°.∴∠DAE＝∠BAC－(∠DAF＋∠EAG)＝100°－80°＝20°. 【归纳总结】有线段的垂直平分线时，一般都过垂直平分线上的点连接线段两端点得相等的线段． 例3 如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系． 分析：先利用角平分线和全等证△AED≌△AFD，易证 ... ...
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