5.4 正方形 正方形的概念 有一组 相等并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形。 正方形的性质 正方形的邻角 ，对角 ； 正方形的对边 ； 正方形的四个角都是 ，四条边都 ； 正方形的两条对角线 ，并且互相 ，每一条对角线平分一组 ； 正方形是 对称图形，有 条对称轴； 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 三角形，两条对角线把正方形分成 个全等的小等腰直角三角形；21*cnjy*com21*cnjy*com【来源：21cnj*y.co*m】 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离 。 正方形的判定 对角线互相 且 的四边形是正方形； 一组邻边 ，一个角为 的平行四边形是正方形； 对角线互相垂直的 是正方形； 邻边相等的 是正方形； 有一个角是直角的 是正方形； 对角线相等的 是正方形。 正方形判定方法： 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： （1）先证它是矩形，再证有一组 相等； （2）先证它是菱形，再证有一个角是 。 判定一个四边形为正方形的一般顺序如下： （1）先证明它是平行四边形； （2）再证明它是 （或矩形）； （3）最后证明它是矩形（或 ）。 正方形的面积 设正方形边长为a，对角线长为b，则面积S正方形= 考点一：多边形与正方形 （2016春?五华区校级期中）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．都有可能 【分析】如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，理由为：利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABCD为平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形，再利用对角线相等的菱形为正方形即可得证． 【解答】解：如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形， 已知：四边形ABCD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AC=BD， 求证：四边形ABCD为正方形， 证明：∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD为菱形， ∵AC=BD， ∴四边形ABCD为正方形． 故选C． 【点评】此题考查了正方形的定义与判定，以及角平分线定理，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键． 变式跟进1（2017?南岸区校级模拟）如图，以A，B为其中两个顶点作位置不同的正方形，一共可以作（ ）【来源：21cnj*y.co*m】 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：正方形的性质 （2017?磴口县二模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（ ）21教育名师原创作品 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=DC， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， ∴CE=CF， ∴①说法正确； ∵CE=CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∵∠AEF=60°， ∴∠AEB=75°， ∴②说法正确； 如图，连接AC，交EF于G点， ∴AC⊥EF，且AC平分EF， ∵∠CAF≠∠DAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF， ∴③说法错误； ∵EF=2， ∴CE=CF=， 设正方形的边长为a， 在Rt△ADF中， a2+（a﹣）2=4， 解得a=， 则a2=2+， ∴S正方形ABCD=2+， ④说法正确， ∴正确的有①②④． 故选C． 【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．21·cn·jy·com 变式跟 ... ...
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