专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.21教育网 想一想：若（其中x, y, n都是正整数），则都是同类二次根式，为什么？ 例题与求解 【例1】 当时，代数式的值是（ ） A、0 B、－1 C、1 D、 （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1） （黄冈市中考试题） （五城市联赛试题） （3） （北京市竞赛试题） （4） （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.21世纪教育网版权所有 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】 比大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设 想一想：设求的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 形如：的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. 【例4】 设实数x，y满足，求x＋y的值. （“宗泸杯”竞赛试题） 解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化. 【例5】 （1）代数式的最小值. （2）求代数式的最小值. （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），21cnjy.com 设，设A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相当于求AB＋AC的最小值，以下可用对称分析法解决.21·cn·jy·com 方法精髓： 解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式. 【例6】 设，求的值. 解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值. 能力训练 A级 1.化简：（“希望杯”邀请赛试题） 2.若，则＝_____(北京市竞赛试题) 计算： （“希望杯”邀请赛试题） 4.若满足0＜x＜y及的不同整数对（x，y）是_____（上海市竞赛试题） 5.如果式子化简结果为2x－3，则x的取值范围是（ ） A. x≤1 B. x≥2 C. 1≤x≤2 D. x＞0 6、计算的值为（ ） A．1 B. C. D. 5 （全国初中数学联赛试题） 7．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（ ） A．1999 B. 2000 C. 2001 D. 不能确定 （全国初中数学联赛试题） 8、有下列三个命题 甲：若α，β是不相等的无理数，则是无理数； 乙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数； 丙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数； 其中正确命题的个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 （全国初中数学联赛试题） 9、化简： （1） （2） （3） （4） （天津市竞赛试题） （5） （“希望杯”邀请赛试题） 10、设，求代数式的值. （“希望杯”邀请 ... ...
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