专题06 转化与化归--特殊方程、方程组 阅读与思考 特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.21教育网 降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数； 5、整体叠加、叠乘等. 转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.21cnjy.com 例题与求解 【例1】已知方程组的两组解是与，则的值是_____ （北京市竞赛题） 解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值. 【例2】方程组的正整数解的组数是（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手． 【例3】 解下列方程: （1） ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （2） ； （河南省竞赛试题） （3） ； （山东省竞赛试题） （4） （“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解. 【例4】 解下列方程组: （1） （山东省竞赛试题） （2） （西安市竞赛试题） （3） （全苏数学奥林匹克试题） 解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理. 【例5】 若关于的方程只有一个解（相等的解也算一个）.试求的值与方程的解. （江苏省竞赛试题） 【例6】 方程的正整数解有多少对？ （江苏省竞赛试题） 解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题. 能力训练 A级 1．方程的实数根是_____. 2．，这个方程的解为=_____. 3．实数满足则的值为_____.（上海市竞赛题） 4． 设方程组有实数解，则 （武汉市选拔赛试题） 5．使得成立的的值得个数为（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （“五羊杯”竞赛试题） 6．已知方程组有实数根，那么它有（ ） A．一组解 B．二组解 C．三组解 D．无数组解 （“祖冲之杯”邀请赛试题） 7．设，且，则代数式的值为（ ） A．5 B．7 C．9 D．1121世纪教育网版权所有 8．已知实数满足，则的值为（ ） A．6 B．17 C．1 D．6或17 9．已知关于的方程组有整数解，求满足条件的质数. （四川省竞赛试题） 10．已知方程组的两个解为且是两个不等的正数. （1）求的取值范围； （2）若，试求的值. （南通市中考试题） 11．已知是方程的两个实根，解方程组 （“祖冲之杯”邀请赛试题） 12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为，且满足关系式试求这个一元二次方程. （杭州市中考试题） B级 1．方程组的解是_____. 2．已知，则的值为_____.（全国初中数学联赛试题） 3．已知实数是方程组的解，则 （全国初中数学联赛试题） 4．方程组的解是_____. （“希望杯”邀请赛试题） 5．若二元二次方程组有唯一解，则的所有可能取值为_____. （《学习报》公开赛试题） 6．正数同时满足，，， ，，. 则的值为_____. （上海市竞赛试题） 7．方程的所有根的积是（ ） A．3 B．-3 C．4 D．-6 E．以上全不对21·cn·jy·com （美国犹他州竞赛试题） 8．设为实数，且满足则（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 （武汉市选拔赛试题） 9．已知则的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 10．对于实数，只有一个实数值满足等式，试求所有这样的实数的和. （江苏省竞赛试题） 11．解方程，其中，并就正数的取值，讨论此方程解的情况. （陕西省竞赛试题） 12．已知三数满足方程组试求方程的根. （全国初中数学联赛试题） 13．解下列方程（组）： （1）； （武汉市竞赛试题） （2）； （湖北省竞赛试题） （3） （加拿大数学奥林匹克竞赛试题） ... ...
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