专题21 直线与圆的位置关系（2） 阅读与思考 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆. 运用与切线相关的知识，可以得到圆的外切三角形、圆的外切四边形的许多重要结论，这些结论在解与切线相关问题时有广泛的应用. 1．如图1，以⊙I为△ABC的内切圆，则有： （1）AE=AF=，BF=BD=，CD=CE=； （2）∠B+∠DIF=∠C+∠DIE=∠A+∠EIF=180°. 这里BC=a，CA=b，AB=c，s=（a+b+c）. 2．如图2，设⊙I为Rt△ABC的内切圆，则有： （1）四边形IDCE是正方形； （2）内切圆半径r=. 3．如图3，设⊙O为四边形ABCD的内切圆，则有；AB+CD=AD+BC. 图1 图2 图3 例题与求解 【例1】 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于E点.若BC=2，AC=3，则AE·EB= . （全国初中数学联赛试题） 解题思路：P为Rt△ABC内切圆的圆心，利用直角三角形内切圆的性质来解. 例1题图 例2题图 【例2】如图，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E，则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（ ） A．3∶ 4 B．4∶ 5 C．5∶ 6 D．6∶ 7 （杭州市中考试题） 解题思路：本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为求出周长，需要引入字母或赋值. 【例3】如图，已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于F. 求证：F是△CDE的内心. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：即要证F为△CDE角平分线的交点，将问题转化为角相等问题的证明，充分运用与圆相关的角的性质. 【例4】如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI. 求证：AB+AC=2BC. （四川省竞赛试题） 解题思路：从外心、内心出发，添加辅助线，充分运用圆的性质，由角的关系导出线段的关系. 【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC、△ACD、△BCD角平分线的交点. 求证：（1）O1O⊥CO2；（2）OC=O1O2. （武汉市选拔赛试题） 解题思路：在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等.故通过证交角等于90°的方法得两线垂直，再用全等三角形证两线段相等. 【例6】如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G. 求∠DEF的度数. （浙江省竞赛试题） 解题思路：若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本例的关键. 能力训练 A级 如图，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF、BE的长是方程x2－13x+30=0的两根，则S△ABC的值是 . （泰州市中考试题） （第1题图） （第2题图） （第3题图） 2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O内切Rt△ABC的三边AB、BC、CA于D、E、F，半径r=2，则AC= . （杭州市中考试题） 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上可以移动的点，且点P在点A的左侧，PM⊥x轴，交直线于点M. 有一个动圆O′，它与x轴、直线PM和直线都相切，且在x轴上方.当⊙O′与y轴也相切时，点P的坐标是 . （青岛市中考试题） 4．如图，已知△ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F，那么点O是△DEF的（ ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 （四川省中考题） （第4题图） （第5题图） 5．如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点A且和BC相切于点D，和AB、AC分别交于点E、F.若BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为（ ） A． eq \f(1+,2)a B． eq \f(1+,2)a C． eq \f(1+,2)b D． eq \f(1+,2)b 6.若0°＜α＜90°，那么以sinα、cosα、tanα·cotα为三边的△ABC的内切圆半径r与外接圆半径R之和是（ ） （安徽省竞赛试题） A． B． C．2sinαcosα D． 7．如图，设AD是△ABC的中线，△ABD、△ ... ...
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