专题22 与圆相关的比例线段 阅读与思考 比例线段是初中数学的一个核心问题. 我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式. 在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系. 在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系. 相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系： 1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系； 2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式. 熟悉以下基本图形和以上基本结论. 例题与求解 【例1】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F.若DE=CE，AC=8，点D为EF的中点，则AB= . （全国初中数学联赛试题） 解题思路：设法求出AE、BE的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等. 例1题图 例2题图 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为（ ） A．1 B． C． D． （武汉市中考试题） 解题思路：由切割线定理知BE2=BD·BC，欲求BD，应先求BE. 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件. 【例3】如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，DE⊥AB于E.已知AE∶ EB=4∶ 1，CD=2，求BC的长. （成都市中考试题） 解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口. 【例4】如图，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，==. （1）求证：直线PB是⊙O的切线； （2）求cos∠BCA的值. （呼和浩特市中考试题） 解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值. 【例5】如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点.延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BF交⊙O于F，AF交CE于P. 求证：PE=PC. （太原市竞赛试题） 解题思路：易证PC为⊙O切线，则PC2=PF·PA，只需证明PE2= PF·PA. 证△PEF∽△PAE，作出常用辅助线，突破相关角. 【例6】如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线. 过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，与ST交于点C. 求证：=（+）. （国家理科实验班招生试题） 解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证. 能力训练 A级 1．如图，PA切⊙O于A点，PC交⊙O于B、C两点，M是BC上一点，且PA=6，PB=BM=3，OM=2，则⊙O的半径为 . （青岛市中考试题） 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点.如果BD∥CF，BC=2，则CD= . （四川省竞赛试题） （第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图） 3．如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C、D，OP⊥CD于点P. 若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半径为5cm，则OP= . （天津市中考试题） 4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=2，那么PE的长为 . （成都市中考试题） 5．如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，则OC的长为（ ） A．2 B． C．2 D．2 （辽宁省中考试题） （第5题图） （第6题图） （第7题图） 6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积为（ ） A．16π B．36π C．52π D．81π （南京市中考试题） 7．如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若AB=12，CD=9，则MD=（ ） A．3 B．3 C．6 D．6 8．如图，⊙ ... ...
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