第四章 图形的性质 第25节 解直角三角形 ■考点1. 锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝ 余弦: cosA＝＝ 正切: tanA＝＝. 2.特殊角的三角函数值 度数 三角函数 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 ■考点2：解直角三角形 1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝. ■考点3：解直角三角形的应用 1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①） (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②） (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③） 2.解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． ■考点1. 锐角三角函数的定义 ◇典例： 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（ ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解． 解：∵sinA==， ∴设BC=4x，AB=5x， 又∵AC2+BC2=AB2， ∴62+（4x）2=（5x）2， 解得：x=2或x=﹣2（舍）， 则BC=4x=8cm， 故选：C． 【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键． （2016?天津）sin60°的值等于（ ） A． B． C． D． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案． 解：sin60°=． 故选：C． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键． ◆变式训练 1.(2017云南中考)sin60°的值为( ) A. B. C. D. 2.(2017哈尔滨中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为( ) A. B. C. D. ■考点2：解直角三角形 ◇典例 （2016?呼伦贝尔）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值． 【考点】解直角三角形． 【分析】根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解． 解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==， ∴BD=AD?tan∠BAD=12×=9， ∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5， ∴AC===13， ∴sinC==． 【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． ◆变式训练 （2016?包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E． （1）若∠A=60°，求BC的长； （2）若sinA=，求AD的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） ■考点3：解直角三角形的应用 ◇典例： 1.（2017?长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60） 【考点】 解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出BC的长． 解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C． 在R ... ...
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