第四章 图形的性质 第28节 圆的有关概念与性质■考点 1．圆的有关概念 (1)圆：平面上到定点的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 ，定长为 ．21教育网 (2)弧：圆上任意两点间的部分叫做 ，简称 ，大于半圆的弧称为 ，小于半圆的弧称为 ． (3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫做 ． (4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧． (5)圆心角：顶点在 的角叫做圆心角． (6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是 ． (7)确定圆的条件：过已知一点可作 个圆，过已知两点可作 个圆，过不在同一条直线上的三点可作 圆． (8)圆的对称性：圆是 _____对称图形，其对称轴是 ；圆是 对称图形，对称中心为 ，并且圆具有旋转不变性．2-1-c-n-j-y ■考点2.垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径 ，并且 ． ②平分弦（不是直径）的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧， ③弦的垂直平分线经过 ，并且 ． ④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等． ■考点3. 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． ■考点4.圆周角定理及推论 ①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于 ． 推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 ．21·世纪*教育网 推论2：直径所对的网周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 ． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 ． ②圆内接四边形的任意一组对角 ． ■考点1.圆的有关概念 ◇典例： （2006?黄石）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定_____个不同的圆． 【考点】确定圆的条件． 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出． 解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．【来源：21cnj*y.co*m】 ◆变式训练 （2017?宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 _____【版权所有：21教育】 ■考点2.垂径定理及其推论 ◇典例： （2017?雅安）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是_____ 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4≤OP≤5．21*cnjy*com 解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M， ∵⊙O的直径为10， ∴半径为5， ∴OP的最大值为5， ∵OM⊥AB与M， ∴AM=BM， ∵AB=6， ∴AM=3， 在Rt△AOM中，OM==4， OM的长即为OP的最小值， ∴4≤OP≤5． 故答案为：4≤OP≤5．21cnjy.com ◆变式训练 （2017?乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与 ... ...
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