6.4 二次函数 二次函数的概念 一般地，如果y= （a，b，c是常数，a≠0），那么叫做的二次函数. y= （a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式.a叫做 ，b叫 ，c叫做 .【出处：21教育名师】 二次函数的解析式 1.一般式：y= （a，b，c是常数，a≠0） 2.顶点式：y= （a，h，k是常数，a≠0） 3.交点式： 当抛物线y=ax2+bx+c）与轴有交点时，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y= .如果没有交点，则不能这样表示. 二次函数的图像 1.二次函数的图像：是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线. 2..抛物线的三要素： 、对称轴、 . ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向 ；当时，开口向 ； 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线 . 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：y=ax2+bx+c=a，∴顶点是 ，对称轴是直线 . ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 . ③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点，则对称轴方程可以表示为： . 4.二次函数图象与系数的关系： 中，的含义： 表示开口方向：时，抛物线开口向 ；时，抛物线开口向 . 与对称轴有关：对称轴为 表示抛物线与y轴的交点坐标： 5.二次函数的对称点和顶点坐标： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向 当时 开口向 （ 轴） （ ） （ 轴） ( ) ( ) ( ) ( ) 6.二次函数图像的画法：五点法： ①根据函数解析式求出 ，在平面直角坐标系中描出 ，并用虚线画出对称轴； ②求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与 轴的交点，再找到交点的对称点.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像. ③当抛物线与轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与轴的 及对称点.由三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像. 二次函数的性质 二次函数的图像与性质： 二次函数 a>0 a<0 图象 开口 抛物线开口向 ，并向上无限延伸； 抛物线开口向 ，并向下无限延伸； 对称轴 顶点坐标 （ ， ） （ ， ） 增减性 在对称轴的左侧，即当 时，随的增大而 ； 在对称轴的右侧，即当 时，随的增大而 ； 在对称轴的左侧，即当x 时，随的增大而 ； 在对称轴的右侧，即当 时，随的增大而 ； 最值 当x= 时，y= 当x= 时，y= 用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式： .已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. ②顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式： . 直线与抛物线的交点 1.轴与抛物线的得交点为( , ) 2.抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：21·cn·jy·com ①有两个交点 抛物线与轴 ； ②有一个交点(顶点在轴上) 抛物线与轴 ； ③没有交点 抛物线与轴 . 3.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故x1+x2= ;x1x2= ; AB= . 4.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则AB= .【来源：21·世纪·教育·网】 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与轴的交点坐标.因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与轴是否有交点. ①当时，图像与轴有 交点； ②当时，图像与轴有 交点； ③当时，图像与轴 交点. 二次函数的实际应用 在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线 ... ...
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