专题六 压轴题探究 1.(2017常德中考)如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点(2，2)，在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点． (1)求抛物线的表达式及顶点N的坐标； (2)求证：四边形PMDA是平行四边形； (3)求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为时的点P的坐标． 解：(1)∵抛物线的对称轴是y轴， ∴可设抛物线表达式为 y＝ax2＋c. ∵点(2，2)，在抛物线上， ∴解得 ∴抛物线表达式为y＝x2＋1， ∴N点坐标为(0，1)； (2)设P，则C， PA＝t2＋1. ∵M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点，且N(0，1)， ∴M(0，2)． ∵OC＝t2＋1，ON＝1， ∴CN＝t2＋1－1＝t2，∴OD＝t2－1， ∴D， ∴DM＝2－＝t2＋1＝PA. 又∵PA∥DM， ∴四边形PMDA为平行四边形； (3)同(2)设P， 则C，PA＝t2＋1，PC＝|t|. ∵M(0，2)， ∴CM＝t2＋1－2＝t2－1.在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM＝ ＝＝＝t2＋1＝PA.且四边形PMDA为平行四边形，∴四边形PMDA为菱形，21世纪教育网版权所有 ∴∠APM＝∠ADM＝2∠PDM. ∵PE⊥y轴，抛物线对称轴为y轴， ∴DP＝DE，且∠PDE＝2∠PDM， ∴∠PDE＝∠APM，又∵＝， ∴△DPE∽△PAM. ∵OA＝|t|，OM＝2， ∴AM＝，又∵PE＝2PC＝2|t|， 当相似比为时，则＝， 即＝，解得t＝2或t＝－2， ∴P点坐标为(2，4)或(－2，4)． 2．(2017永州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过A(－1，0)，B(1，1)两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b1(k1，b1为常数，且k1≠0)，直线l2：y＝k2x＋b2(k2，b2为常数，且k2≠0)，若l1⊥l2，则k1·k2＝－1.21cnjy.com 解决问题： ①若直线y＝3x－1与直线y＝mx＋2互相垂直，求m的值； ②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；2·1·c·n·j·y (3)M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方(不与A，B重合)，求点M到直线AB的距离的最大值． 解：(1)根据题意，得 解得 ∴y＝－x2＋x＋1； (2) ①由题意，得3m＝－1，∴m＝－； ②设PA的表达式为y＝kx＋c，过A(－1，0)，B(1，1)两点的直线表达式为y＝x＋.∵过点P的直角边与AB垂直，∴k＝－2，【来源：21·世纪·教育·网】 ∴y＝－2x＋c. 若∠PAB＝90°，把 A(－1，0)代入得0＝－2×(－1)＋c，解得c＝－2， ∴y＝－2x－2，点P是直线PA与抛物线的交点，联立方程组 解得 ∴P(6，－14)； 若∠PBA＝90°，把B(1，1)代入y＝－2x＋c，得1＝－2×1＋c，解得c＝3， ∴y＝－2x＋3，点P是直线PB与抛物线的交点，联立方程组解得 ∴P(4，－5)． 综上所述，存在点P(6，－14)或(4，－5)，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形； (3)设M，过M作MQ∥y轴，交AB于点Q，则Q. ∴S△ABM＝×[1－(－1)]＝－n2＋ . 当n＝0时，最大面积为，AB＝＝，设点M到直线AB距离最大为h，则××h＝， ∴h＝. 即点M到直线AB的距离的最大值是. 3．(六盘水中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，顶点为D.21·cn·jy·com (1)求此抛物线的表达式； (2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴； (3)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．21·世纪*教育网 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3； (2) ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴抛物线顶点D的坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1； (3)存在一点P ... ...
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