第四章 图形的性质 第17节 三角形的有关概念 ■知识点一：三角形的分类 由 三条线段 相连接所组成的图形是三角形 （1）按角的关系分类 : （2）按边的关系分类: ■知识点二：三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． ■知识点三：角的关系 （1）内角和定理： ①三角形的内角和等180°； ②推论：直角三角形的两锐角互余. （2）外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. ②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角. ■知识点四：三角形中的重要线段 四线性质 角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等 (2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫 , 到 相等． 中线:(1) 三条中线交于三角形内部一点，叫其 ：每条中线平分三角形的 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为 （2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部2·1·c·n·j·y 中位线: 三角形 的连线段．平行于 ，且等于 三角形中内、外角与角平分线的规律总结 如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；2-1-c-n-j-y 如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°； 如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O； 如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A. ■考点1.三边关系 ◇典例 （2015青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A．5 B．6 C．12 D．16 【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的可能取得的值．【来源：21cnj*y.co*m】 解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4和10，∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14． 故选C． 【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． ◆变式训练 （2017?白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ） A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0 ■考点2.角的关系 ◇典例： （2017?郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°， ∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ） A．180° B．210° C．360° D．270° 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可． 解：∠α=∠1+∠D， ∠β=∠4+∠F， ∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F =∠2+∠D+∠3+∠F =∠2+∠3+30°+90° =210°， 故选：B．【来源：21·世纪·教育·网】 （2016?临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一 个外角等于（ ） A．108° B．90° C．72° D．60° 【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案． 解：设此多边形为n边形， 根据题意得：180（n﹣2）=540， 解得：n=5， 故这个正多边形的每一个外角等于： =72°． 故选C． ◆变式训练 （2016?凉山州）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角 和为1080°，那么原多边形的边数为（ ） A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9 （2016?十堰）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24， 再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ） A．140米 B．150米 C．160米 D．240米 （2017?株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（ ） A．145° B．150° C．155° D．160° ■考点3.三 ... ...
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