第四章 图形的性质 第19节 等腰三角形 ■知识点一：等腰三角形 （1）性质 ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合; ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴. （2）判定 ①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形； ②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为 . ■知识点二：等边三角形 （1）性质 ①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴. （2）判定 ①定义：三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； ③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形. 注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质. （2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB. ■知识点三：角平分线 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上． ■知识点四：垂直平分线 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB. （2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ■考点1.等腰三角形 ◇典例： 1.（2017?南充）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ） A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1， ） 【考点】等边三角形的性质；坐标与图形性质；勾股定理． 【分析】先过B作BC⊥AO于C，则根据等边三角形的性质，即可得到OC以及BC的长，进而得出点B的坐标． 解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，则 ∵△AOB是等边三角形， ∴OC=AO=1， ∴Rt△BOC中，BC==， ∴B（1，）， 故选：D． 2.（2016·贵州安顺）已知实数x，y满足，则以x，y的值为 两边长的等腰三角形的周长是（ ） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 【考点】等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系 【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解． 解：根据题意得 ， 解得， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8， 不能组成三角形； （2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形，周长为4+8+8=20． 故选B． ◆变式训练 1.（2016?阿坝州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.(2016·黑龙江哈尔滨）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为 ． ■考点2.等边三角形 ◇典例 （2016·广西百色）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．2+ 【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质． 【分析】连接CC′，连接A′C交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C的长度，从而得出结论． 解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示． ... ...
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