第四章 图形的性质 第25节与圆的位置关系和有关计算 ■知识点一：与圆有关的位置关系 (1)点与圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： ①点在圆外 d ＞ r； ②点在圆上 d = r； ③点在圆内 d ＜ r． (2)直线与圆的位置关系 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： ①直线与圆相交 d＜r： ②直线与圆相切 d = r； ③直线与圆相离 d＞r． ■知识点二：切线的性质与判定 (1)切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (2)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径； 过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的圆心． (3)切线判定方法： ①定义法： ②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若d=r ，则直线与圆相切： ③经过半径的外端且 垂直于这条半径的直线是圆的切线． (4)切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ■知识点三：三角形与圆 (1)三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形三个角平分线的交点，叫做三角形的 内心，它到三角形的三边的距离相等． 21·世纪*教育网 (2)三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 锐角三角形外心在三角形的内部，直角三角形外心在三角形的斜边中点处，钝角三角形外心在三角形的外部． ■知识点四：正多边形与圆 (1)正多边形：各边 相等 ，各角 相等 的多边形叫做正多边形． (2)圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． (3)正n边形酌内角和=180°(n-2) ；正n边形的每个内角度数= ；正n边形外角和=360°；正n边形的每个外角度数= ． 边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①. 特殊正多边形中各中心角、长度比： 中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△ a:r:R=2:1:2 a:r:R=2:1:2 a:r:R=2: ：2 ■知识点五：与圆有关的计算 1．弧长公式：（n为圆心角的度数，r为圆的半径，该公式涉及f，n，r三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．） 2．有关阴影部分面积的求法 (1)扇形的面积公式：S=（n为圆心角的度数．r为圆的半径．l表示弧长）． (2)求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法． 3．圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱侧面积=底面周长×高，圆柱全面积=侧面积+2×底面积． ■考点1与圆有关的位置关系 ◇典例： 1.（2017?枣庄）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）21教育名师原创作品 A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜ 【考点】 点与圆的位置关系； 勾股定理． 【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论． 解：给各点标上字母，如图所示． AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==，AG=AM=AN==5， ∴＜r≤3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内． 故选B． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解题的关键． 2.（2016?湘西州）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【考点】 直 ... ...
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