特殊元素法在数学解题中的应用教案

特殊元素法在数学解题中的应用 在解答数学问题时，我们经常要求学生注意问题的一般性，谨防出现特殊代替一般的错误.但在实际解题中，有时巧妙地应用满足题设条件的特殊元素，也能收到事半功倍之效.现举例说明，以供参考. 一、字母取值特殊化 例1 若，则的值为 . 分析 一般情况下能成立的结论，在特殊情况下也一定成立.由题意可知、、为非零实数，且其和为0，于是可对、、为赋以特殊值来求解.一般情况下所赋的特殊值应是较简单、便于计算的数值. 由，不妨设 原式 例2 因式分解后的结论是( ) (A) (B) (C) (D) 分析因为因式分解是恒等变形，不论、、取何实数，正确答案总是成立的，故可在原式中取特殊值求解. 不妨令，则原式. 而选项中只有(A)符合要求，故选(A). 二、字母关系特殊化 例3 方程，当每取一对数值就有一个关于的方程，而所有这些方程有一个公共解(即指一对确定的，它们满足所有这些方程)，试求出这个公共解. 分析 由于题设“当每取一对数值就有一个关于的方程”中，对的取值没有做出具体的限定，故结合方程中字母系数的特点，可利用特殊化方式求解. 于是，我们令 代入方程解得 令，代人方程解得 所以，即为所求的公共解. 三、图形位置关系的特殊化 例4 如图1 ，是⊙的直径，且，弦的长为，若弦的两端在圆上滑动时，始终与相交. 记点、到的距离分别为、，则等于( ) (A)5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 分析由于题设“弦的两端在圆上滑动时，始终与相交”，不妨取与的特殊位置关系来求解. 设 (如图2(1))，连结，可得 此时 或端点滑动到点(如图2(2)) 此时. 故选B. 例5 如图3，已知点是双曲线在第一象限的分支上的一个动点. 连结并延长交另一分支于点，以为边作等边，点在第四象限. 随着点的运动，点的位置也不断变化，但点始终在双曲线上运动，则的值是 . 分析 如图3，将的边取特殊位置，即轴，交轴于点，则的为等边三角形. 过点作轴于点 设点，可知， ∴点 ∴ ∴点 ∴ 四、角的度数特殊化 例6 如图5，在中，，，是高，点为的中点，则的长为 . 分析 由题设知，为任意三角形，且 可设特殊情形，则 ∴为直角三角形， 而是高 ∴ ∴ 又为的中点 ∴ ∴ 五、图形形状特殊化 例7 如图6，一任意凸四边形，两组对边中点与的连线交于点，则图中与的面积之和占四边形面积的 . 分析 四边形既然是任意凸四边形，因此我们将其特殊化为正方形(如图7)，由正方形的相关性质，可得 例8 如图8， . 分析 将图8特殊化为正五角星形，如图9. 则 故