一、二次函数概念 1．二次函数的概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零． 2．二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． （2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二、二次函数的基本形式 1．二次函数的图象和性质 的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 3.的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 4.的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 三、二次函数图象的平移 1．平移步骤 方法一： ①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 方法二： ①沿轴平移：向上（下）平移个单位，变成（或）；②沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）． 2．平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中． 五、二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点． 六、二次函数的性质 1．当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． 2．当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 七、二次函数解析式的表示方法 1．一般式：（，，为常数，）； 2．顶点式：（，，为常数，）； 3．两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化． 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1．二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然． （1）当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； （2）当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 2．一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． （1）在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． （2）在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时， ... ...
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