21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 第五章《相交线与平行线》 第3讲 角平分线与平行线 一、知识储备 1 从角的顶点出发，在角的内部的一条射线，把角分成两个相等的部分，这条射线叫角的平分线； 2 角平分线基本模型：角平分线遇上角的一边的平行线，可得等腰三角形；角平分线遇上垂线，沿角平分线翻折可得等腰三角形【来源：21·世纪·教育·网】 二、方法技巧 根据条件和图形结构特征，熟练运用设元法，利用方程思想和转化思想解决与平行线相关的角、线段等之间的位置与数量关系 三、习题精练 范例1：（角平分线遇上平行线）（2015 泰兴七下期末）已知：如图1，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=5．21·世纪*教育网 （1）直接写出△BCD的面积． （2）如图2，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：CF=CE． （3）如图3，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变求出其值；若变化求出变化范围． 【解答】解：（1）S△BCD=CD OC=×5×2=5． （2）如图2，∵AC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠CFE+∠CBF=90°，∵直线MN⊥直线PQ，∴∠BOC=∠OBE+∠OEB=90°，∵BF是∠CBA的平分线，∴∠CBF=∠OBE，∵∠CEF=∠OBE，∴∠CFE+∠CBF=∠CEF+∠OBE，∴∠CEF=∠CFE．∴△CEF是以EF为底边的等腰三角形，∴CF=CE2·1·c·n·j·y （3）如图③，∵直线l∥PQ，∴∠ADC=∠PAD，∵∠ADC=∠DAC，∴∠CAP=2∠DAC，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠CAB=∠CAP，∴∠ABC+∠ACB=2∠DAC；∵∠H+∠HCA=180°-∠CAH=∠DAC，∴∠ABC+∠ACB=2∠H+2∠HCA，∵CH是∠ACB的平分线，∴∠ACB=2∠HCA，∴∠ABC=2∠H，∴=． 范例2：（双角平分线双设元）如图所示，已知∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，∠OAB的内角平分线与∠OBD的平分线所在直线相交与点C， (1)如图1，当OA=OB时，求∠C的度数 (2)小聪画图中发现，如图2，在A，B点移动中，∠ACB的值不会发生变化，请你判断，小聪的说法是否正确，并说明理由2-1-c-n-j-y 【解答】解：∵CA平分∠OAB，∴∠CAO=∠CAB，设∠CAO=∠CAB＝x，则∠OAB=2x；同理，CB平分∠OBD，∴可设∠DBC=∠CBO=y，则∠DBO=2 y，∵∠DBO=180°-∠ABO=∠A0B+∠BAO，∴2y=90°+2x，∴y-x=45°, ∴∠OBA=90°- 2x21*cnjy*com (1)当OA=OB时，∠OAB=∠OBA=45°, 2x=45°, 2 y=135°, ∴y-x=45°, ∴ ∠C=180°-∠CBA-∠CAB=180°-67.5°-45°-22.5°=45°【来源：21cnj*y.co*m】 (2) 在A，B点移动中，总有y-x=45°及∠OBA=90°- 2x不变，∴ ∠C=180°-∠CBA-∠CAB=180°-y-(90-2x)-x=90-y+x=90-(y-x)=45°不变，所以小聪的说法是正确的 四：跟进演练（时限40分钟，满分120分） 一、选择题（共10题，每题4分计40分） 1 （2016·滨州）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（ ）21*cnjy*com A ∠EMB=∠END B．∠BMN=∠MNC C．∠CNH=∠BPG D．∠DNG=∠AME 2（2016·宁波）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70 3 如图，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（ ） A．50° B．80° C．65° D．115° 4（2016·十堰）如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC=40°，则∠BCD=（ ） A．140° B．130° C．120° D．110° 5（2016·鄂州）如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（ ） A. 50° B. 40° C. 45° D. 25° 6（2016·枣庄）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E ... ...
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