热点小专题(五) 四边形的有关计算与证明 1．如图R5－1，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN. (1)求证：四边形AMDN是平行四边形． (2)当AM为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由． 图R5－1 2．已知：如图R5－2，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2. (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME. 图R5－2 3．如图R5－3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E. (1)证明：四边形ACDE是平行四边形； (2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长． 图R5－3 4．如图R5－4，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE＝1，∠AEP＝90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F. (1)的值为_____； (2)求证：AE＝EP； (3)在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 图R5－4 5．已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°. (1)如图①，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系； (2)如图②，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合)，求证：BE＝CF； (3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离． 图R5－5 6．如图R5－6，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6 ，∠BAD＝60°，且AB＞6 . (1)求∠EPF的大小； (2)若AP＝10，求AE＋AF的值； (3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值． 图R5－6 7．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B、C不重合)，以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC． (1)求∠D的度数； (2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH. ①如图R5－7，连接GH、AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明； ②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP＝AD，求k的值． 图R5－7 参考答案 1．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM.∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME. ∵点E是AD中点，∴DE＝AE. ∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA. ∴四边形AMDN是平行四边形． (2)AM＝1.理由如下： ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2. 若平行四边形AMDN是矩形， 则DM⊥AB，即∠DMA＝90°. ∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°. ∴AM＝AD＝1. 2．解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，BC＝CD，∴∠1＝∠ACD. 又∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2， ∴MC＝MD.又∵ME⊥CD， ∴CE＝ED＝CD，∴BC＝CD＝2CE＝2. (2)证明：延长DF、AB交于点N. ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠FCM＝∠ECM. 又∵F为边BC的中点， ∴CF＝BF. 由(1)可知CE＝ED＝CD， ∴△CMF≌△CME，∴MF＝ME. ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠N，∠NBF＝∠DCF. 又∵BF＝CF，∴△CDF≌△BNF，∴NF＝DF. 又∵∠1＝∠2，∴∠N＝∠1， ∴AM＝MN＝NF＋MF＝DF＋ME. 3．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴AE∥CD，∠AOB＝90°， ∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°， ∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC， ∴四边形ACDE是平行四边形； (2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5， ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8， ∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18. 4．解：(1) (2)证明：在BA边上截取BK＝BE，连接KE. ∵∠B＝90°，BK＝BE， ∴∠BKE＝45°，∴∠AKE＝135°. ∵CP平分正方形ABCD的外角，∴∠DCP＝45°， ∴ ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
