分层次作业(二) [课时训练(十九) 等腰三角形] A组·夯实基础 一、选择题 1．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为( ) A．40° B．50° C．60° D．65° 2．[2016·怀化]等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为( ) A．16 cm B．17 cm C．20 cm D．16 cm或20 cm 3．[2016·荆门]如图K19－1，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 图K19－1 4．[2017·宜昌]如图K19－2，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是( ) A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF 图K19－2 5．[2017·荆州]如图K19－3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( ) A．30° B．45° C．50° D．75° 图K19－3 图K19－4 6．如图K19－4，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 7．[2017·常州]如图K19－5，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是_____． 图K19－5 三、解答题 8．[2017·郴州]如图K19－6，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别为边AB，AC的中点，求证：BE＝CD. 图K19－6 9．[2017·宁夏]在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥AC，M、N分别为垂足． (1)求证：不论点P在BC边的何处时都有PM＋PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； (2)当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大？并求出最大值． 图K19－7 B组·拓展提升 10．[2017·淄博]在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝_____． 参考答案 1．D 2.C 3.C 4．C [解析] 根据尺规作图方法和痕迹可知GH是线段EF的垂直平分线，故选C. 5．B [解析] ∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝30°，∴∠BDC＝60°，∴∠CBD＝180°－75°－60°＝45°. 6．D [解析] ∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB. ∵MN∥BC， ∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN， ∴BM＝ME，EN＝CN. ∵MN＝ME＋EN，∴MN＝BM＋CN. ∵BM＋CN＝9， ∴MN＝9，故选D. 7．15 [解析] ∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC.∴△ABD的周长是AB＋DB＋DA＝AB＋DC＋DA＝AB＋AC＝6＋9＝15. 8．证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC， ∵点D，E分别为边AB，AC的中点，∴BD＝CE， 在△BDC和△CEB中，BD＝CE，∠ABC＝∠ACB，BC＝CB， ∴△BDC≌△CEB，∴BE＝CD. 9．解：(1)证明：连接AP， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，设BC边上的高为h， ∴S△ABC＝S△ABP＋S△ACP＝AB·MP＋AC·PN＝BC(PM＋PN)， 又∵S△ABC＝BC·h，∴PM＋PN＝h， 即不论点P在BC边的何处，都有PM＋PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高． (2)设BP＝x， 在Rt△BMP中，∠BMP＝90°，∠B＝60°，BP＝x， ∴BM＝BP·cos60°＝x，MP＝BP·sin60°＝x， ∴S△BMP＝BM·MP＝·x·x＝x2； ∵PC＝2－x，同理可得：S△PNC＝(2－x)2； 又∵S△ABC＝×22＝， ∴S四边形AMPN＝S△ABC－S△BMP－S△PNC ＝－x2－(2－x)2＝－(x－1)2＋. ∴当BP＝1时，四边形AMPN的面积最大，最大面积是. 10．2 [解析] 如图，作AG⊥BC于G， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴AG＝AB＝2 ， 连接AD，则S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， ∴AB·DE＋AC·DF＝BC ... ...
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