浙江省舟山、嘉兴市2015-2017年中考数学试题分类解析汇编专题6：压轴问题

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 嘉兴、舟山市2015-2017年中考数学试题分类解析汇编 专题6：压轴问题 一、选择题 1．（2016 嘉兴/舟山）二次函数y= ﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（　　）21·cn·jy·com A． B．2 C． D． 【分析】条件m≤x≤n和mn＜0可得m＜0，n＞0 所以y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数． 最大值为2n分两种情况， （1）顶点纵坐标取到最大值，求出n=2.5，结合图象最小值只能由x=m时求出． （2）顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出． 【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下： ． ①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5， 解得：m=﹣2． 当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5， 解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）； ②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5， 解得：m=﹣2． 当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5， 解得：n= ， 或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值， 2m=﹣（n﹣1）2+5，n= ， ∴m= ， ∵m＜0， ∴此种情形不合题意， 所以m+n=﹣2+ = ． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】 　 2．（2015 嘉兴/舟山）如图，抛物线y =﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a=﹣1，则b=4； ③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；2-1-c-n-j-y ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6 ．【来源：21cnj*y.co*m】 其中真命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】①根据二次函数所过象限，判断出y的符号； ②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值； ③根据 ＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2； ④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对 称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答． 【解答】解：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误； ②二次函数对称轴为x=﹣ =1，当a=﹣1时有 =1，解得b=3，故本选项错误； ③∵x1+x2＞2， ∴ ＞1， 又∵x1﹣1＜0＜x2﹣1， ∴Q点距离对称轴较远， ∴y1＞y2，故本选项正确； ④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′， 连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值． 当m=2时，二次函数为y= ﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=﹣1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）； 则DE= = ；D′E′= = ； ∴四边形EDFG周长的最小值为 + ，故本选项错误． 故选C． 【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称﹣﹣最短路径问题等，值得关注． 　 二、填空题 3．（2016 嘉兴/舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为　 　． 【分析】首先根据题意正确画出从O→B→ A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时（QC⊥AB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路 ... ...