专题01 三角形的基本知识 阅读与思考 三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用. 解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类. 应熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ） A．114° B．122° C．123° D．132° 【考点】MI：三角形的内切圆与内心． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．21世纪教育网版权所有 【解答】解：∵∠A=66°， ∴∠ABC+∠ACB=114°， ∵点I是内心， ∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB=57°， ∴∠BIC=180°﹣57°=123°， 故选：C． 【例2】（2017湖南株洲） 如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（ ） A．145° B．150° C．155° D．160° 【考点】K7：三角形内角和定理． 【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题． 【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°， ∴6x=180， ∴x=30， ∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°， 故选B． 【例3】如图，∠1=55°，∠3=108°，则∠2的度数为（ ） A．52° B．53° C．54° D．55° 【考点】三角形的外角性质． 【专题】探究型． 【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可． 【解答】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=55°，∠3=108°， ∴∠2=∠3﹣∠1=108°﹣55°=53°． 故选B． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和． 【例4】如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（ ） A．20° B．30° C．10° D．15° 【考点】三角形的角平分线、中线和高；垂线；三角形内角和定理． 【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【解答】解：∵∠BAC=60°，∠C=80°， ∴∠B=40°． 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠BAC=30°， ∴∠ADE=70°， 又∵OE⊥BC， ∴∠EOD=20°． 故选A． 【点评】此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义． 【例5】如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．【来源：21cnj*y.co*m】 【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理． 【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．【出处：21教育名师】 【解答】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°， ∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°． 又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°， ∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°． 同理，∠ACF=30°， ∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°． 【点评】此题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解 ... ...
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