专题03 等腰三角形的判定 阅读与思考 在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结． 1．等腰三角形的判定： ⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法： ⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等． 善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示： 例题与求解 【例1】（2017内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC． 求证：△BDE是等腰三角形． 【考点】KI：等腰三角形的判定；JA：平行线的性质． 【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】 【解答】证明：∵DE∥AC， ∴∠1=∠3， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∵AD⊥BD， ∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°， ∴∠B=∠BDE， ∴△BDE是等腰三角形． 【例2】如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm． 【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE， ∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE， ∴BD=PD，CE=PE， ∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长． 【例3】如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE=CD，试判断△BDE的形状．21·世纪*教育网 【考点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质． 【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的中线，则∠DBC=30°，再由题中条件求出∠E=30°，即可判断△BDE的形状． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD=CD， ∴∠DBC=∠ABC=30°， ∵CE=CD， ∴∠CDE=∠E， ∵∠ACB=∠CDE+∠E， ∴∠E=30°， ∴∠DBE=∠E， ∴BD=DE， ∴△BDE是等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解．考查了学生综合运用数学知识的能力，得到∠E=30°是正确解答本题的关键． 【例4】（2017浙江衢州）问题背景 如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．21*cnjy*com 类比探究 如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合） （1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明． （2）△DEF是否为正三角形？请说明理由． （3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．2-1-c-n-j-y 【考点】LO：四边形综合题． 【分析】（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可； （2）由全等三角形的性质得 ... ...
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