专题04 整式的乘除与因式分解 阅读与思考 指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：， ，，，，． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件； 2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用． 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止． 例题与求解 【例1】已知a+b=﹣，求代数式（a﹣1）2+b（2a+b）+2a的值． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【专题】计算题． 【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=a2﹣2a+1+2ab+b2+2a=（a+b）2+1， 把a+b=﹣代入得：原式=2+1=3． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【例2】．设y=ax，若代数式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值． 【考点】整式的混合运算；平方根． 【分析】先利用因式分解得到原式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）=（x+y）2，再把当y=ax代入得到原式=（a+1）2x2，所以当（a+1）2=1满足条件，然后解关于a的方程即可． 【解答】解：原式=（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）=（x+y）2， 当y=ax，代入原式得（1+a）2x2=x2， 即（1+a）2=1， 解得：a=﹣2或0． 【点评】本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．【来源：21cnj*y.co*m】 【例3】已知10m=2，10n=3，则103m+2n= ． 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法． 【分析】根据同底数幂相乘的逆运算和幂的乘方的逆运算法则计算． 【解答】解：103m+2n=103m102n=（10m）3（10n）2=23?32=8×9=72． 故答案为：72． 【点评】本题利用了同底数幂相乘的性质的逆运算和幂的乘方的性质的逆运算．同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘．21教育名师原创作品 【例4】若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ． 【考点】换元法解一元二次方程． 【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．21·cn·jy·com 【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得 4x（4x﹣2）﹣8=0， 整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0， 分解得：（2x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣，x2=1． 则a+b的值是﹣或1． 故答案是：﹣或1． 【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 【例5】已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．21教育网 【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；等边三角形的判定． 【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．21*cnjy*com 【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0 ∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0 （a﹣b）2+（b﹣c）2=0 ∴a﹣b=0且b﹣c=0 即a=b=c，故该三角形是等边三角形． 【点评】当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，从而判断出该三角形的形状．21·世纪*教育网 【例6】下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （ ... ...
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