专题08 面积的计算 阅读与思考 计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识： 1.常见图形的面积公式； 2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等； 3.等比定理： (1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比. (2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论： 例题与求解 【例1】（2017四川南充）已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（ ） A．2 B． C．3 D．4 【考点】L8：菱形的性质． 【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，求出2AO?BO=4，即可得出答案． 【解答】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD=6， ∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD， ∴AO+BO=3， ∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9， 即AO2+BO2=5，AO2+2AO?BO+BO2=9， ∴2AO?BO=4， ∴菱形的面积=AC?BD=2AO?BO=4； 故选：D． 【例2】（2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足． （1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； （2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值． 【分析】（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵S△ABC=S△ABP+S△ACP， ∴ABCD=ABPM+ACPN， ∴PM+PN=CD， 即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； （2）设BP=x，则CP=2﹣x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵PM⊥AB，PN⊥AC， ∴BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x）， ∴四边形AMPN的面积=×（2﹣x）x+ [2﹣（2﹣x）]（2﹣x）=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+， ∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【例3】（2016·四川内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( ) A． B． C． D．不能确定 [答案]B [考点]勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。 [解析]如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于H．则 BH＝，AH＝＝． 连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC． ∴AB·PD＋BC·PE＋CA·PF＝BC·AH． ∴PD＋PE＋PF＝AH＝． 故选B． 【例4】（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ． 【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质． 【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可． 【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a， 作BD⊥AC于D，∵∠A=30°， ∴BD=AB=a， ∴?a?a=5， ∴a2=20， ∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20． 如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=30°， ∴∠BAC=120°，∠BAD=60°， 在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°， ∴BD=a， ∴?a?a=5， ∴a2=20， ∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20． 故答案为20或20． 【例5】（ ... ...
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