备考2018中考数学高频考点剖析专题21 平面几何之特殊平行四边形问题

备考2018中考数学高频考点剖析 专题二十一 平面几何之特殊平行四边形问题 考点扫描聚焦中考 特殊平行四边形问题，是每年中考的必考内容之一，也是压轴问题设计之一，考查的知识点包括矩形、菱形和正方形三个方面的问题，总体来看，难度系数搞，少以选择填空展示，多有解析题压轴题出现。解析压轴题主要以证明与探究为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从四方面进行特殊平行四边形问题的探讨： （1）矩形的性质与判定； （2）菱形的性质与判定； （3）正方形的性质与判定应用． （4）特殊平行四边形的综合探究问题． 考点剖析典型例题 例1（2017贵州安顺）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质． 【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可． 【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， ∴∠EAC=∠EAC， ∴AO=CO=5cm， 在直角三角形ADO中，DO==3cm， AB=CD=DO+CO=3+5=8cm． 故选：C． 例2（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论： ①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC， 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】LA：菱形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质． 【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案． 【解答】证明：∵BC=EC， ∴∠CEB=∠CBE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠CEB=∠EBF， ∴∠CBE=∠EBF， ∴①BE平分∠CBF，正确； ∵BC=EC，CF⊥BE， ∴∠ECF=∠BCF， ∴②CF平分∠DCB，正确； ∵DC∥AB， ∴∠DCF=∠CFB， ∵∠ECF=∠BCF， ∴∠CFB=∠BCF， ∴BF=BC， ∴③正确； ∵FB=BC，CF⊥BE， ∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC， ∴PF=PC，故④正确． 故选：D． 例3（2017广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【考点】LE：正方形的性质． 【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF=S△ADF，故①正确，由BE=EC=BC=AD，AD∥EC，推出===，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确，由此即可判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB， 在△AFD和△AFB中， ， ∴△AFD≌△AFB， ∴S△ABF=S△ADF，故①正确， ∵BE=EC=BC=AD，AD∥EC， ∴===， ∴S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF， 故②③错误④正确， 故选C． 例4（2017江苏盐城）【探索发现】 如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　 　． 【拓展应用】 如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　 　．（用含a，h的代数式表示） 【灵活应用】 如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【 ... ...