5.4正方形 一、正方形的概念 有一组邻边_____并且有一个角是_____的平行四边形叫做正方形. 二、正方形的性质 1、正方形的四个角都是_____，四条边都_____； 2、正方形的两条对角线_____，并且互相_____，每一条对角线平分一组_____ 3、正方形既是_____图形，又是_____图形. 注意：正方形具有_____、矩形、菱形的一切性质！ 三、正方形的判定 1、有一组邻边相等的_____是正方形； 2、对角线互相垂直的_____是正方形； 3、有一个角是直角的_____是正方形； 4、对角线相等的_____是正方形； 5、对角线互相垂直、相等的_____是正方形； 6、对角线互相垂直、平分且相等的_____是正方形. 三、正方形的面积 S正方形＝边长的平方＝对角线_____的一半 四、中点四边形 1、概念：依次连接任意四边形各边_____所得的四边形称为中点四边形 2、性质：中点四边形的形状始终是_____，且每条边都_____且_____原四边形对角线的一半.21cnjy.com （1）如果四边形的对角线互相_____，则中点四边形为矩形. （2）如果四边形的对角线相等，则中点四边形为_____. （3）如果四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形为_____. 考点一：正方形的性质 如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且，则 _____°. 【答案】67.5 【解析】解:∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠DBC=45°， ∵BC=BE， ∴∠BEC=∠BCE=(180°-∠DBC)=67.5°. 故答案为：67.5°. 【点评】利用正方形的性质可得出等腰三角形BEC的顶角为45°，本题即可得出答案. 变式跟进1 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，点P是BC上任意一点，AP⊥PF，且AP=PF,连接CF.2·1·c·n·j·y （1）求证：∠BAP=∠FPC； （2）求∠FCE的度数. 考点二：正方形的判定 如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是_____（只需添加一个即可）21*cnjy*com 【答案】∠ABC=90° 【解析】解：条件为∠ABC=90°， 理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：∠ABC=90°． 【点评】本题主要考查正方形的判定. 属于开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可，而熟练运用正方形判定定理是解题的关键.【来源：21·世纪·教育·网】 变式跟进2如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点． (1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论； (2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．(不要求证明) 考点三：正方形的性质与判定综合 如图，在四边形中，，，，过点作，交于点．若，则的长为（ ）．21*cnjy*com A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图，作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴≌， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故选． 【点评】本题考查正方形的判定和性质及三角形全等，构造辅助线是解题的关键. 变式跟进3如图,点E是正方形ABCD对角线AC上一点,EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别为E,F,若正方形ABCD的周长是40 cm. (1)求证:四边形BFEG是矩形; (2)求四边形EFBG的周长; (3)当AF的长为多少时,四边形BFEG是正方形? 考点四：与正方形有关的面积问题 如图，边长为的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为、，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，∵AD=12，∴CD=4，∴EC2=42+42，即EC=4，∴S2的面积为EC2=32，∵S1的边长为6，S1的面积为6×6=36，∴S1+S2=32+36=68．故选B． 【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质以及勾股定理的运用，同时也考查了 ... ...
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