备考2018中考数学高频考点剖析专题22 平面几何之相似和位似问题（原卷+解析卷）

备考2018中考数学高频考点剖析 专题二十二 平面几何之相似和位似问题 考点扫描聚焦中考 相似和位似问题，是每年中考的重点考试内容之一，考查的知识点包括相似三角形的性质与判定、位似和相似三角形与其它几何图形的综合应用三方面，总体来看，难度系数偏高，少量题以选择填空为主，大都是综合性的解析题。解析题主要以证明计算为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行相似与位似问题探讨：21·世纪*教育网 （1）相似三角形的性质与判定； （2）位似及其作图； （3）相似三角形与其它图形的综合应用． 考点剖析典型例题 例1（2017.江苏宿迁）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．21教育网 （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDE=∠CEF，于是得到结论；2-1-c-n-j-y （2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB， ∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB， ∵∠DEF=∠B， ∴∠BDE=∠CEF， ∴△BDE∽△CEF； （2）∵△BDE∽△CEF， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， ∴， ∵∠DEF=∠B=∠C， ∴△DEF∽△CEF， ∴∠DFE=∠CFE， ∴FE平分∠DFC． 例2（2017山东泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．21世纪教育网版权所有 （1）证明：∠BDC=∠PDC； （2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长． 【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC； （2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD， ∴AC⊥BD， ∴∠ACD+∠BDC=90°， ∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC， ∴∠ADC+∠BDC=90°， ∴∠BDC=∠PDC； （2）解：过点C作CM⊥PD于点M， ∵∠BDC=∠PDC， ∴CE=CM， ∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P， ∴△CPM∽△APD， ∴=， 设CM=CE=x， ∵CE：CP=2：3， ∴PC=x， ∵AB=AD=AC=1， ∴=， 解得：x=， 故AE=1﹣=． 例3（2017湖南株洲） 如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF． ①求证：△DAE≌△DCF； ②求证：△ABG∽△CFG． jy·com 【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；21教育名师原创作品 ②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．21*cnjy*com 【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF， ∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF， ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF， ∴∠ADE=∠CDF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF； ②延长BA到M，交ED于点M， ∵△ADE≌△CDF， ∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF， ∵∠MAD=∠BCD=90°， ∴∠EAM=∠BCF， ∵∠EAM=∠BAG， ∴∠BAG=∠BCF， ∵∠AGB=∠CGF， ∴△ABG∽△CFG． 例4（2017浙江衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9． （1）求证：△COD∽△CBE． （2）求半圆O的半径r的长． 【分析】（1）由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO，再由∠C=∠C，得出△COD∽△CBE． （2）由勾股定理求出BC==15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵CD切半圆O于点D， ∴CD⊥OD， ∴∠CDO=90°， ∵BE⊥ ... ...