专题3.9 求抛物线解析式的方法举例-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版+解析版）

求抛物线解析式的方法举例 【专题综述】 求抛物线的解析式是第二十七章的一个重点和难点，也是中考的一个热点. 现以一道中考题为例介绍求抛物线解析式的方法，供你习时参考. 抛物线的解析式有以下三种常见的形式： 一般式：(，，为常数，且0)，其特点是：等式右边是二次三项式的一般形式. 顶点式：(，，为常数，且0），其特点是：(，)是抛物线的顶点坐标. 交点式：(，，为常数，且0），其特点是：等式右边的常数，是抛物线与轴的两个交点的横坐标，即两个交点坐标是(，0)和(，0). 【方法解读】 例如图1，已知抛物线与轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与轴交于点C(0，3). (1)求抛物线的解析式； 分析一：因为已知抛物线的三点坐标，故可选用一般式来求其解析式. 解法一：(1)设其解析式为++，由题意，得 解得 故此抛物线的解析式为+2+3. 点评：用待定系数法求，，需三个独立条件，若已知图象经过的三点的坐标或三对，的对应值，则可选用一般式来求其解析式，即建立关于，，的三元一次方程组，求出，，的值后再回代即可.这种方法是求抛物线解析式最基本的方法，务必熟练掌握. 分析二：因为抛物线与轴交于点C(0，3)，即当=0时，=3.故可直接设抛物线 的解析式为++3，然后根据它过A(-1，0)、B(3，0)两点建立方程组求出，即可. 解法二：设抛物线的解析式为++3，则由题意，得解得 故抛物线的解析式为+2+3. 点评：当抛物线与轴的交点坐标已知时，马上就可得出解析式++中的值，从而只需根据问题所给的另外两个条件求出，的值再回代即可. 分析三：由已知条件易求得抛物线的对称轴是直线，故抛物线的顶点的横坐标是1，因此可设抛物线的顶点坐标是(1，)，从而可选用顶点式来 求其解析式. 解法三：由抛物线经过点A(-1，0)、B(3，0)，可知其对称轴是直线，由此可知抛物线顶点的横坐标是1，故可设其解析式为，则由题意，得 解得 故其解析式是+4，即+2+3. 点评：当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式来求其解析式，此时只需根据另外的条件求出，，然后回代，并把它化为一般式即可. 此外，应注意这种情况的变式，即在题设条件中，若涉及对称轴或对称轴易于求出时，也可选用顶点式来求其解析式. 分析四：因为A(-1，0)、B(3，0)两点是抛物线与轴的两个交点的坐标，故可选用交点式来求其解析式. 解法四：因为抛物线交轴于A(-1，0)、B(3，0)两点，故可设其解析式为=(+1) (-3).又因为它交轴于点C(0，3)，故3=(0+1)(0-3)，解得=-1.故所求解析式是=-(+1)(-3)，即+2+3. 点评：当抛物线与轴的两个交点或交点的横坐标已知时，常常选用交点式来求其解析式，此时只需代入第三个条件即可求出的值，再回代，最后化为一般式即可. 变式： 如图2，已知四边形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3. (1)求直线BM的解析式； (2)求过A、M、B三点的抛物线的解析式. 参考答案： 解：(1)因为MO=MD=4，MC=3，故M、A、B的坐标分别为(0，4)，(-4，0)，(3，0)，设直线BM的解析式为， 则 解得故BM的解析式为. (2)解法一：设抛物线的解析式为，则，解得 ，，故. 解法二：设抛物线的解析式为，将M(0，4)的坐标代入解得，故所求解析式为，即. 【强化训练】 1. （2016山东省临沂市）二次函数，自变量x与函数y的对应值如表： 下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是 2. （2016山东省滨州市）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是（　　） A．　　　　　　B． C．　　　　　　D． 3. （2017浙江省温州市）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水 ... ...