【备战2018年中考数一轮微专题突破】 专题04 依据不同条件巧构辅助圆 【专题综述】 圆是极其重要的图形,它不仅能反映诸多角的关系,还能建立很多线段间的关系，根据题目中的已知条件，巧妙地构造辅助圆，以使解题取得事半功倍之效。 【方法解读】 一、当题目中出现一个端点引出三条相等线段时，可以根据圆的定义来构造圆． 例1：如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为( ) A. B. C.3 D.2 【举一反三】 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点．将线段PA绕点P顺时针旋转2α，得到线段PQ．点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D．猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明． 二、当题目中出现判断直角三角形的个数的时候，可以根据“直径所对的圆周角是直角”这个性质来构造圆，然后转化为判断直线与圆的位置关系． 例2：在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为4，且△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，则满足条件的点C有_____个． 【举一反三】 如图，在平面直角坐标系中，点A（－4，0），B(2，0)．若直线l经过点E(4，0)，M为直线l上的动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． 三、当题目中出现比较同一条线段所对张角大小的时候，可以根据“同弧所对的圆周角相等”这个性质，过这条线段的两端点和任一张角的顶点作圆． 例3：在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，如图，当甲带球冲到A点时，乙跟随冲到B点，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？（射门角度越大越好，射门角度：从射门点向球门最左端和最右端分别连线，两条连线的夹角．） 【举一反三】 如图，二次函数图像经过点A（－1，0），B(4，0)，C(0，－2)．若M（x，y）是抛物线上的一个动点（不与A，B重合），当∠AMB≤45°时，请直接写出点M横坐标的取值范围． 【强化训练】 1．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ． 3．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是 ． 4．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG． （1）试说明四边形EFCG是矩形； （2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中， ①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由； ②求点G移动路线的长． 5．阅读材料：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离． 证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB＞PA． 如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC． ∵PO＜PC+OC， 且PO=PA+OA，OA=OC， ∴PA＜PC ∴PA 长是点P与⊙O上各点之间的最短距离． 由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题． （1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是 上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是 ． （2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′ ... ...
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