专题9.2 “整体思想”的主要表现形式分类例析-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版+解析版）

“整体思想”的主要表现形式分类例析 【专题综述】 在数解题过程中，我们若能善于从大处着眼，由整体（或全局）入手，将一些看似彼此独立实质上又紧密相关的数对象视为一个整体去思考与分析，常常可以摆脱常规模式的羁绊，化难为易．本文按“整体思想”的主要表现形式分类例析，供参考． 【方法解读】 一、整体代换 例1 若x2－3x＋1＝0，则的值为_____． 分析 解出x，再代入式中求值显然是不可取的．观察题设和待求式的联系，可得如下方法： 点评 整体运作，可以减少运算量，法一运用“逐步降次法”，法二运用“取倒数法”，看似玄妙，其实并非无中生有，都是建立在整体感知已知条件和待求式的基础上完成的．其中，法一将已知条件变形得到一些“工具式”，再调整待求式，分离出这些“工具式”，巧妙代换，达到“降次”的目的，分离“工具式”还可以采用如下方法：分离x2－3x，以－1代换；分离x2＋1，以3x代换；分离x2－3x＋1，以0代换；分离x2＋x＋1，以4x代换；分离3x，以x2＋1代换；分离1，以3x－x2代换． 二、整体消元 例2 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）． 分析 利用S1、a、S3共同构成小半圆，S1、b、S2共同构成大半圆，S1、a、b共同构成△ABC，可得 S1＋S3＋a＝·π·12； ① S1＋S2＋b＝·π·22； ② S1＋a＋b＝×2×4； ③ ①＋②－③，得 S1＋S2＋S3＝π－4． 点评 本例借用整体消元，大大减少运算量，使问题巧妙获解．此外，还用到了方程这架通过“已知”称量“未知”的数天平，并通过对图形合理分割，整体组合，变“不标准图形”成“标准图形”，化难为易． 三、整体运算 例3　 已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y＝上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x() (A)有最大值，最大值为 (B)有最大值，最大值为9 (C)有最小值，最小值为 (D)有最小值，最小值为9 分析 由M(a，b)，知N（－a，b）． 又M在双曲线上，则ab＝； N在直线上，则b＝－a＋3，即a＋b＝3． 于是，二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x ＝－x2＋3x ＝－(x－3)2＋， 它有最大值，为． 点评 本例考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，分别代入对应解析式，整体运算，求得ab和a＋b的值，从而构建二次函数式，开展下一步研究． 四、整体观察 例4　 如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为() (A) 15 (B)20 (C)25 (D)30 分析 整体观察图形，由折叠过程可知阴影部分图形的周长为： EA1＋A1D1＋BC＋FC＋EB＋D1F ＝EA＋AD＋BC＋FC＋EB＋DF ＝(EA＋EB)＋AD＋BC＋(FC＋DF) ＝AB＋AD＋BC＋CD ＝2(AB＋BC) ＝2(10＋5)＝30． 点评 整体观察主要针对图形（或数式）的构造特征，从中发现规律，进而巧妙组合，顺利实现化归，优化思考，减化运算，本例的周长割补与组合，就源于这一点． 五、整体联想 例5　 方程 的解为_____． 分析 把原方程各分母分解因式，可得 点评 整体联想是在整体观察的基础上，结合问题的结构特征展开联想．“相关”、“相似”、“相近”、“因果”、“对比”等是联想的“桥梁”，善于联想可以为构造、完善图形（或数式）提供方法支撑，为转化、变更问题提供突破思路． 六、整体转化 例6　 如果三个方程x2－2x－2＋3＝0，x2＋（－1）x＋2＝0，x2＋x－＝0中，至少有一个方程有实根，求的取值范围． 分析 分别考虑三个方程实根的情况将难以处理，而如果整体分析，从反面考虑，则问题可以顺利实现转化，设三个方程都没有实数根，则有： 即当≤－3或≥－1时，三个方程中至少有一个方程有实根． 点评 对一些 ... ...