专题9.3 灵活运用设而不求方法求解数学问题-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版+解析版）

灵活运用设而不求方法求解数问题 【专题综述】 在求解数问题时，常会碰到一些问题，它所涉及的量比较多，量与量之间的关系也不太明显，若只根据题意，直接设未知数，解决问题较难．此时若通过设辅助未知数，把那些不明显的关系表示出来，而在求解含辅助未知数的方程（组）时，则可根据其特点，巧妙地将辅助未知数消去，而不必求出这些辅助未知数，从而求得原问题的解，这就是“设而不求”，采用这种方法常常可以简化解题过程，使得求解方法变得简捷、巧妙． 【方法解读】 例1 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需315元；若购甲4件、乙10件、丙一件共需420元．问现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？ 解 设购甲、乙、丙各一件分别需x元、y元、元，则由题意可得： 解关于x＋3y和x＋y＋x的二元一次方程组可得 x＋y＋x＝105（元）． 点评 对于本题，若按常规方法求解，则需分别求出x、y、的值，而根据题中的条件只能列出两个方程，因此直接求值不太可能．可见题意并非一定要求出x、y、之值，而只需求出（x＋y＋）这个整体之值即可． 例2 一个十位数字为0的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位数 字和百位数字得到一个新的三位数，它恰好又是数字和的m倍，求m的值． 解 设三位数的百位数字为x，个位数字为y，则据题意可得： 例3 已知直角三角形ABC的周长是2＋，斜边上的中线长是1，求该三角形的面积． 解 设两直角边长分别为x、y，则根据题意，可得下面方程组： 点评 本题若用解方程组求出x、y的值，再计算，则不仅运算量大，方程繁杂，且还容易出错．采用“设而不求”的方法，使得解题过程简洁明快． 例4 已知二次函数y＝x2－mx＋4的图像与x轴交于A、B两点，且A、B两交点间的距离为2．求此二次函数的解析式． 例5 有一片牧场，草每天都匀速地生长（革每天增长的量相等）．如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完草?(2)要使牧草永远吃不完，至多只能放牧几头牛？ 解 (1)设每头牛每天吃草量为x，草每天增长量为y，牧场原有的草量为a，16头牛天可以吃完牧草．则根据题意可得： (2)设放牧w头牛，牧草永远吃不完，则必须使w头牛每天吃的草量不大于每天的增 长量，即 xw≤y ⑥ 把④代入⑥，可得w≤12（因为w>0）． 答：(1)如果放牧16头牛，18天可以吃完草； (2)要使牧草永远吃不完，至多只能放牧12头牛． 点评 本题是著名的“牛吃草”问题，解题需要考虑草每天的增长量，每头牛每天吃草量及牧场原有草量之间的关系，所以本题设了一些辅助未知数，并把这些关系表示出来，然后巧妙地进行消元，从而使得问题顺利获解． 例6 如图1所示，在△ABC的两边AB、AC上分别向外作正方形ACGH和BAFE，延长BC边上的高DA交FH于点M，求证：MH＝MF． 点评 本题的一般证法是，通过添加辅助线构造全等三角形来证明，上面运用“设而不求”的方法，不仅简捷明了，而且令人耳目一新． 【强化训练】 1．若是方程组的解，则（m+n）（n﹣m）的值为（ ） A. 16B. -16C. 8D. ﹣8 2．已知是方程组的解，则的值是（） A. B. C. D. 3．已知函数，其中、为常数，且，若方程的两个根为、，且，则、、、的大小关系为（） A. B. C. D. 4．已知方程2x2－x－1＝0两根分别是x1和x2，则x1＋x2的值等于（） A. 2B. C. D. －1 5．已知两圆的圆心距是3，它们的半径分别是方程的两个根，那么这两个圆的位置关系是（） A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离 6．已知是方程组 的解，则m+n=_____． 7．已知方程组的解满足x+y=2，则a的值为_____． 8．一元二次方程与的所有实数根之和等于_____. 9．在关于x，y的方程组 中，若未知数x，y满足x＋y>0，求m的取值范围，并在数轴 ... ...